Номер 11.16, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.16. Четырёхугольник является одновременно вписанным и описанным. Пусть $M, N, P$ и $Q$ — точки касания вписанной окружности со сторонами четырёхугольника (рис. 11.8). Докажите, что $MP \perp NQ$.

Рис. 11.8

11.16. Четырёхугольник является одновременно вписанным и описанным. Пусть $M, N, P$ и $Q$ — точки касания вписанной окружности со сторонами четырёхугольника (рис. 11.8). Докажите, что $MP \perp NQ$.

Рис. 11.8

Пусть данный четырёхугольник — это $ABCD$, а $M, N, P, Q$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Пусть $O$ — центр этой вписанной окружности. Точки $M, N, P, Q$ лежат на этой окружности.

Требуется доказать, что хорды $MP$ и $NQ$ этой окружности перпендикулярны. Пусть $X$ — точка их пересечения. Угол между пересекающимися хордами в окружности равен полусумме угловых величин дуг, заключённых между ними. Таким образом, угол $\angle MXN$ равен полусумме дуг $MN$ и $PQ$:

$\angle MXN = \frac{1}{2}(\smile MN + \smile PQ)$

Угловая величина дуги равна соответствующему ей центральному углу. Следовательно:

$\angle MXN = \frac{1}{2}(\angle MON + \angle POQ)$

Рассмотрим четырёхугольник $OMBN$. В нём $OM \perp AB$ и $ON \perp BC$ как радиусы, проведённые в точки касания. Значит, $\angle OMB = \angle ONB = 90^\circ$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, поэтому:

$\angle MON + \angle OMB + \angle MBN + \angle ONB = 360^\circ$

$\angle MON + 90^\circ + \angle B + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle MON + \angle B = 180^\circ$, откуда $\angle MON = 180^\circ - \angle B$.

Аналогично, рассмотрев четырёхугольник $OQDP$, получим, что $OQ \perp DA$ и $OP \perp CD$, поэтому $\angle OQD = \angle OPD = 90^\circ$. Следовательно:

$\angle POQ + \angle PDQ = 180^\circ$, откуда $\angle POQ = 180^\circ - \angle PDQ = 180^\circ - \angle D$.

Подставим найденные выражения для углов в формулу для $\angle MXN$:

$\angle MXN = \frac{1}{2}((180^\circ - \angle B) + (180^\circ - \angle D)) = \frac{1}{2}(360^\circ - (\angle B + \angle D))$

По условию, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным. Свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом:

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Подставим это значение в наше выражение:

$\angle MXN = \frac{1}{2}(360^\circ - 180^\circ) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$

Так как угол между прямыми $MP$ и $NQ$ равен $90^\circ$, они перпендикулярны ($MP \perp NQ$).

Ответ: Что и требовалось доказать.