Номер 11.20, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.20. Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, точка D — середина стороны AB (рис. 11.9). Известно, что $\angle AOD = 90^\circ$. Докажите, что $AB + BC = 3AC$.

Рис. 11.9

11.20. Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, точка $D$ — середина стороны $AB$ (рис. 11.9). Известно, что $\angle AOD = 90^\circ$. Докажите, что $AB + BC = 3AC$.

Рис. 11.9

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ длины сторон равны $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Величины углов при вершинах обозначим соответственно $A$, $B$, $C$.

Поскольку точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, она является точкой пересечения его биссектрис. Таким образом, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$, и, следовательно, $\angle OAD = \angle OAB = \frac{A}{2}$.

Точка $D$ является серединой стороны $AB$, поэтому длина отрезка $AD$ равна половине длины стороны $AB$: $AD = \frac{c}{2}$.

Из условия задачи известно, что $\angle AOD = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $AOD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрические соотношения. Для угла $\angle OAD$ имеем:
$\cos(\angle OAD) = \frac{AO}{AD}$

Подставим в это соотношение известные нам значения $\angle OAD = \frac{A}{2}$ и $AD = \frac{c}{2}$:
$\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{AO}{c/2}$
Из этого уравнения выразим длину отрезка $AO$:
$AO = \frac{c}{2} \cos\left(\frac{A}{2}\right)$

Существует также стандартная формула, которая связывает расстояние от вершины до центра вписанной окружности с радиусом вписанной окружности $r$ и углом при данной вершине:
$AO = \frac{r}{\sin(A/2)}$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для длины $AO$:
$\frac{c}{2} \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{r}{\sin(A/2)}$

Выразим из этого равенства радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{c}{2} \sin\left(\frac{A}{2}\right) \cos\left(\frac{A}{2}\right)$
Применив формулу синуса двойного угла $\sin(A) = 2 \sin\left(\frac{A}{2}\right) \cos\left(\frac{A}{2}\right)$, мы можем упростить выражение для $r$:
$r = \frac{c}{4} \sin(A)$

Вспомним другую формулу для радиуса вписанной окружности, которая выражает его через площадь треугольника $S$ и его полупериметр $p$:
$r = \frac{S}{p}$
Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin(A)$, а полупериметр равен $p = \frac{a+b+c}{2}$. Подставим эти выражения в формулу для $r$:
$r = \frac{\frac{1}{2}bc\sin(A)}{(a+b+c)/2} = \frac{bc\sin(A)}{a+b+c}$

Теперь у нас есть два разных выражения для радиуса $r$. Приравняем их:
$\frac{c}{4} \sin(A) = \frac{bc\sin(A)}{a+b+c}$

Для любого невырожденного треугольника $c \neq 0$ и $\angle A \in (0, 180^\circ)$, поэтому $\sin(A) \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $c\sin(A)$:
$\frac{1}{4} = \frac{b}{a+b+c}$

Из этой пропорции получаем:
$a+b+c = 4b$
$a+c = 4b - b$
$a+c = 3b$

Подставляя обратно обозначения сторон, получаем требуемое равенство:
$BC + AB = 3AC$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB+BC=3AC$.