Номер 11.15, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.15. Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, имеют внешнее касание. Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность.

11.15. Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, имеют внешнее касание. Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Для того чтобы доказать, что в трапецию можно вписать окружность, необходимо показать, что суммы длин ее противоположных сторон равны.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи, на боковых сторонах $AB$ и $CD$ как на диаметрах построены две окружности.

Центром первой окружности, построенной на стороне $AB$, является ее середина, точка $O_1$. Радиус этой окружности равен $R_1 = \frac{AB}{2}$. Аналогично, центром второй окружности, построенной на стороне $CD$, является ее середина, точка $O_2$, а ее радиус равен $R_2 = \frac{CD}{2}$.

Из условия известно, что эти две окружности касаются внешним образом. Свойство касающихся внешним образом окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Таким образом, мы можем записать:
$O_1O_2 = R_1 + R_2$

Подставим выражения для радиусов в это равенство:
$O_1O_2 = \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} = \frac{AB + CD}{2}$

Рассмотрим отрезок $O_1O_2$. Так как точка $O_1$ — середина боковой стороны $AB$, а точка $O_2$ — середина боковой стороны $CD$, то отрезок $O_1O_2$ является средней линией трапеции $ABCD$.

По свойству средней линии трапеции, ее длина равна полусумме длин оснований:
$O_1O_2 = \frac{AD + BC}{2}$

Теперь у нас есть два выражения для длины отрезка $O_1O_2$. Приравняем их:
$\frac{AB + CD}{2} = \frac{AD + BC}{2}$

Умножив обе части равенства на 2, получим:
$AB + CD = AD + BC$

Это равенство означает, что сумма длин боковых сторон трапеции ($AB+CD$) равна сумме длин ее оснований ($AD+BC$). Согласно свойству описанного четырехугольника, если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Таким образом, мы доказали, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.