Номер 11.9, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.9. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см.

Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см.

11.9. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см.

Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AB$ является меньшей боковой стороной (и высотой), а $CD$ – большей боковой стороной. Основаниями являются $AD$ и $BC$. Углы $∠A$ и $∠B$ – прямые.

1. Найдём высоту трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, её высота $h$ равна диаметру этой окружности. В прямоугольной трапеции высота равна длине меньшей боковой стороны $AB$.

Радиус вписанной окружности по условию равен $r = 20$ см. Диаметр $d = 2r$.

$h = AB = d = 2 \cdot 20 = 40$ см.

2. Найдём длину большей боковой стороны.

По условию, точка касания делит большую боковую сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Длина всей стороны $CD$ равна сумме длин этих отрезков:

$CD = 8 + 50 = 58$ см.

3. Найдём периметр трапеции.

Для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность (описанного четырёхугольника), действует свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований:

$AB + CD = AD + BC$

Периметр трапеции $P$ – это сумма длин всех её сторон:

$P = AB + CD + AD + BC$

Используя свойство описанного четырёхугольника, мы можем заменить сумму оснований $(AD + BC)$ на сумму боковых сторон $(AB + CD)$:

$P = (AB + CD) + (AB + CD) = 2 \cdot (AB + CD)$

Подставим известные значения $AB = 40$ см и $CD = 58$ см:

$P = 2 \cdot (40 + 58) = 2 \cdot 98 = 196$ см.

Ответ: 196 см.