Номер 11.7, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.7. Один из углов ромба равен 60°, а большая диагональ равна 24 см.

Найдите радиус окружности, вписанной в данный ромб.

11.7. Один из углов ромба равен $60^\circ$, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный ромб.

Пусть сторона ромба равна $a$. Один из углов ромба равен $60^\circ$, следовательно, второй (тупой) угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Меньшая диагональ ромба ($d_2$) лежит против меньшего (острого) угла. Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, является равнобедренным с углом $60^\circ$ между равными сторонами, а значит, он равносторонний. Таким образом, длина меньшей диагонали равна стороне ромба: $d_2 = a$.

Большая диагональ ($d_1$) лежит против большего (тупого) угла. По условию, её длина составляет 24 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза — стороне ромба ($a$).

Применим теорему Пифагора:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения $d_1 = 24$ и $d_2 = a$:

$(\frac{24}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$12^2 + \frac{a^2}{4} = a^2$

$144 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$144 = \frac{3a^2}{4}$

Отсюда найдем квадрат стороны ромба:

$a^2 = \frac{144 \cdot 4}{3} = 48 \cdot 4 = 192$

Тогда сторона ромба равна:

$a = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Высота ромба $h$ может быть вычислена по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол ромба. Используем острый угол $\alpha = 60^\circ$:

$h = 8\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ см.

Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте, а радиус $r$ — половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.