Номер 11.4, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.4. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

11.4. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это основное свойство описанного четырехугольника.
Рассмотрим ромб ABCD со стороной a. По определению ромба, все его стороны равны:
$AB = BC = CD = DA = a$.
Проверим условие равенства сумм противолежащих сторон:
Сумма длин сторон AB и CD: $AB + CD = a + a = 2a$.
Сумма длин сторон BC и DA: $BC + DA = a + a = 2a$.
Поскольку $AB + CD = BC + DA$, условие выполняется для любого ромба. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность.
Ответ: В любой ромб можно вписать окружность, так как по определению ромба все его стороны равны, а значит, суммы длин противолежащих сторон также равны.

Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

Центр вписанной в многоугольник окружности — это точка, равноудаленная от всех его сторон. Такая точка является точкой пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника.
Одним из свойств ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. То есть диагональ AC является биссектрисой углов A и C, а диагональ BD — биссектрисой углов B и D.
Следовательно, точка пересечения диагоналей ромба является точкой пересечения всех биссектрис его углов. Эта точка и будет центром вписанной в ромб окружности.
Ответ: Центром окружности, вписанной в ромб, является точка пересечения его диагоналей.