Номер 11.6, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.6. Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности?

11.6. Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности?

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковой стороной $CD$. Пусть $O$ — центр вписанной в трапецию окружности. Угол, под которым боковая сторона $CD$ видна из центра $O$, — это угол $∠COD$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника. Следовательно, отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $∠BCD$ и $∠ADC$ соответственно.

Из этого следует, что:
$∠OCD = \frac{1}{2} ∠BCD$
$∠ODC = \frac{1}{2} ∠ADC$

Рассмотрим треугольник $ΔCOD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180°$

Подставим в это равенство выражения для углов $∠OCD$ и $∠ODC$:
$∠COD + \frac{1}{2} ∠BCD + \frac{1}{2} ∠ADC = 180°$
$∠COD = 180° - \frac{1}{2} (∠BCD + ∠ADC)$

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне). Для стороны $CD$ имеем:
$∠BCD + ∠ADC = 180°$

Теперь подставим это значение в полученную ранее формулу для угла $∠COD$:
$∠COD = 180° - \frac{1}{2} (180°)$
$∠COD = 180° - 90°$
$∠COD = 90°$

Таким образом, боковая сторона трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Ответ: $90°$.