Вопросы, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какой четырёхугольник называют описанным около окружности?

2. В каком случае говорят, что окружность вписана в четырёхугольник?

3. Каким свойством обладают стороны описанного около окружности четырёхугольника?

4. При каком условии четырёхугольник является описанным около окружности?

1. Какой четырёхугольник называют описанным около окружности?

2. В каком случае говорят, что окружность вписана в четырёхугольник?

3. Каким свойством обладают стороны описанного около окружности четырёхугольника?

4. При каком условии четырёхугольник является описанным около окружности?

1. Какой четырёхугольник называют описанным около окружности?
Четырёхугольник называют описанным около окружности (или касательным четырёхугольником), если все его четыре стороны касаются этой окружности.
Ответ: Четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности.

2. В каком случае говорят, что окружность вписана в четырёхугольник?
Говорят, что окружность вписана в четырёхугольник, если она касается всех его сторон. Это по сути то же самое определение, что и в первом вопросе, но с точки зрения окружности. Если четырёхугольник описан около окружности, то окружность вписана в этот четырёхугольник.
Ответ: Окружность вписана в четырёхугольник, если она касается всех его сторон.

3. Каким свойством обладают стороны описанного около окружности четырёхугольника?
Основное свойство сторон описанного четырёхугольника известно как теорема Пито. Она гласит, что суммы длин противоположных сторон такого четырёхугольника равны. Если $a$ и $c$ — длины противоположных сторон, а $b$ и $d$ — длины двух других противоположных сторон, то выполняется равенство:
$a + c = b + d$
Ответ: Суммы длин противоположных сторон равны.

4. При каком условии четырёхугольник является описанным около окружности?
Четырёхугольник (выпуклый) является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Это условие является обратной теоремой к теореме Пито и служит критерием для определения, можно ли вписать окружность в данный четырёхугольник. То есть, если для сторон четырёхугольника $a, b, c, d$ выполняется условие:
$a + c = b + d$
то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Ответ: Выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны.