Номер 10.36, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.36. В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $100^{\circ}$. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника. Докажите, что $BD + AD = BC$.

10.36. В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $100^{\circ}$. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника. Докажите, что $BD + AD = BC$.

Для доказательства утверждения $BD + AD = BC$ воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Нахождение углов треугольника

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с углом $∠A = 100°$. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Так как $∠A$ - тупой, он является углом при вершине, следовательно, $AB = AC$. Углы при основании $BC$ равны:

$∠B = ∠C = (180° - 100°) / 2 = 80° / 2 = 40°$.

Отрезок $BD$ является биссектрисой угла $∠B$, поэтому он делит этот угол пополам:

$∠ABD = ∠DBC = 40° / 2 = 20°$.

Рассмотрим углы в треугольниках $ABD$ и $BDC$:

• В $ΔABD$: $∠A = 100°$, $∠ABD = 20°$. Третий угол $∠ADB = 180° - (100° + 20°) = 60°$.
• В $ΔBDC$: $∠DBC = 20°$, $∠C = 40°$. Третий угол $∠BDC = 180° - (20° + 40°) = 120°$.

2. Дополнительное построение

На стороне $BC$ отложим отрезок $BE$, равный отрезку $AD$. То есть, $BE = AD$.

Нам нужно доказать, что $BD + AD = BC$. Подставив $BE$ вместо $AD$, получим $BD + BE = BC$.Из рисунка видно, что $BC = BE + EC$.Следовательно, нам нужно доказать, что $BD = EC$.

Для этого мы докажем равенство треугольников $ABD$ и $MEC$, где $M$ - некоторая точка, которую мы сейчас построим.

На стороне $AC$ отложим отрезок $AM = AB$. Поскольку $AB=AC$, точка $M$ совпадет с точкой $C$. Это не дает нам нового треугольника.

Воспользуемся другим подходом. Отложим на стороне $BC$ отрезок $BE$ так, чтобы $BE = BD$.

Рассмотрим $ΔBDE$. Так как $BE=BD$, он является равнобедренным. Угол при вершине $∠DBE = 20°$. Углы при основании $DE$ равны:

$∠BED = ∠BDE = (180° - 20°) / 2 = 160° / 2 = 80°$.

3. Доказательство равенства отрезков

Теперь мы хотим доказать, что $BD + AD = BC$.Из нашего построения $BC = BE + EC$. Так как мы выбрали $BE = BD$, равенство примет вид:

$BC = BD + EC$.

Сравнивая это с тем, что нужно доказать ($BC = BD + AD$), мы видим, что задача сводится к доказательству равенства $AD = EC$.

Рассмотрим $ΔDEC$. Мы знаем следующие углы:

• $∠DCE = ∠C = 40°$.
• $∠DEC$ является смежным с $∠BED$. $∠DEC = 180° - ∠BED = 180° - 80° = 100°$.
• Третий угол $∠EDC = 180° - (∠DCE + ∠DEC) = 180° - (40° + 100°) = 40°$.

Поскольку в $ΔDEC$ два угла равны ($∠DCE = ∠EDC = 40°$), он является равнобедренным с основанием $DC$. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $DE = EC$.

Теперь задача сводится к доказательству того, что $AD = DE$.

Рассмотрим $ΔADE$. Чтобы доказать, что $AD = DE$, мы можем доказать равенство противолежащих им углов: $∠AED$ и $∠DAE$.

• Угол $∠DAE$ является частью угла $∠BAC$. $∠DAE = ∠CAE$. Рассмотрим $ΔABE$. В нем $∠ABE = ∠ABC = 40°$, а $∠AEB = ∠BED = 80°$. Тогда $∠BAE = 180° - (40° + 80°) = 60°$. Следовательно, $∠DAE = ∠CAE = ∠BAC - ∠BAE = 100° - 60° = 40°$.
• Угол $∠AED$ в $ΔADE$ - это тот же угол, что и $∠AEC$. Вспомним, что B, E, C лежат на одной прямой, поэтому $∠AEC = 180° - ∠AEB = 180° - 80° = 100°$.

Мы получили, что в $ΔADE$ углы $∠DAE = 40°$ и $∠AED = 100°$. Так как эти углы не равны, то и противолежащие им стороны $DE$ и $AD$ не равны.

Здесь мы обнаружили, что данный путь доказательства не приводит к цели. Используем другой, более элегантный метод.

Доказательство (альтернативный метод)

1. Отложим на продолжении стороны $AD$ за точку $D$ отрезок $DK$, равный $BD$. Таким образом, $AK = AD + DK = AD + BD$. Нам нужно доказать, что $AK = BC$.

2. Рассмотрим $ΔBDK$. Он равнобедренный, так как $BD=DK$. Угол $∠BDK$ смежный с углом $∠ADB$. Мы ранее нашли, что $∠ADB = 60°$.Следовательно, $∠BDK = 180° - 60° = 120°$.Углы при основании $BK$ в $ΔBDK$ равны: $∠DBK = ∠DKB = (180° - 120°)/2 = 30°$.

3. Теперь рассмотрим $ΔABK$. Найдем его углы:

• $∠BAK = ∠BAC = 100°$.
• $∠AKB = ∠DKB = 30°$.
• $∠ABK = ∠ABD + ∠DBK = 20° + 30° = 50°$.

Проверим сумму углов: $100° + 30° + 50° = 180°$.

4. Теперь нам нужно доказать равенство сторон $AK$ и $BC$ из треугольников $ABK$ и $ABC$ соответственно.

Применим теорему синусов к $ΔABK$:

$\frac{AK}{\sin(∠ABK)} = \frac{AB}{\sin(∠AKB)}$

$\frac{AK}{\sin(50°)} = \frac{AB}{\sin(30°)} \implies AK = \frac{AB \cdot \sin(50°)}{\sin(30°)}$

Применим теорему синусов к $ΔABC$:

$\frac{BC}{\sin(∠BAC)} = \frac{AC}{\sin(∠ABC)}$

Поскольку $ΔABC$ равнобедренный и $AB = AC$, мы можем написать:

$\frac{BC}{\sin(100°)} = \frac{AB}{\sin(40°)} \implies BC = \frac{AB \cdot \sin(100°)}{\sin(40°)}$

5. Сравним выражения для $AK$ и $BC$. Нам нужно доказать, что:

$\frac{AB \cdot \sin(50°)}{\sin(30°)} = \frac{AB \cdot \sin(100°)}{\sin(40°)}$

Сократим $AB$ и преобразуем выражение:

$\frac{\sin(50°)}{1/2} = \frac{\sin(100°)}{\sin(40°)}$

$2\sin(50°) = \frac{\sin(100°)}{\sin(40°)}$

Используем формулы приведения и двойного угла:$\sin(50°) = \cos(40°)$$\sin(100°) = \sin(2 \cdot 50°) = 2\sin(50°)\cos(50°)$. Также $\sin(100°) = \sin(180°-80°) = \sin(80°) = 2\sin(40°)\cos(40°)$.

Подставим $\sin(100°) = 2\sin(40°)\cos(40°)$ в правую часть:

$2\sin(50°) = \frac{2\sin(40°)\cos(40°)}{\sin(40°)} = 2\cos(40°)$

Получаем равенство $\sin(50°) = \cos(40°)$. Это известное тригонометрическое тождество, так как $50° + 40° = 90°$.

Равенство доказано. Следовательно, $AK=BC$. А так как мы построили $AK = AD + BD$, то и $AD + BD = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Путем дополнительного построения и применения теоремы синусов было показано, что $BD+AD=BC$.