Номер 10.32, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.32. Биссектрисы $BK$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $\angle A = 60^{\circ}$. Докажите, что $OK = OM$.

10.32. Биссектрисы $BK$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $\angle A = 60^\circ$. Докажите, что $OK = OM$.

Дано: $\triangle ABC$, $BK$ и $CM$ — биссектрисы, $BK \cap CM = O$, $\angle A = 60^\circ$.
Доказать: $OK = OM$.

Доказательство:

1. Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис $BK$ и $CM$, следовательно, $O$ — центр вписанной окружности (инцентр) треугольника $ABC$.

2. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $\angle B$ и $\angle C$:
$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $BO$ и $CO$ являются частями биссектрис $BK$ и $CM$, то:
$\angle OBC = \frac{1}{2}\angle B$
$\angle OCB = \frac{1}{2}\angle C$
Сумма этих углов равна:
$\angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = \frac{1}{2}(120^\circ) = 60^\circ$.
Теперь найдем угол $\angle BOC$ из треугольника $BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Углы $\angle KOM$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, поэтому они равны:
$\angle KOM = \angle BOC = 120^\circ$.

5. Рассмотрим четырехугольник $AKOM$. Сумма его противоположных углов $\angle KAM$ (то есть $\angle A$) и $\angle KOM$ равна:
$\angle KAM + \angle KOM = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.
Свойство четырехугольника гласит, что если сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, точки $A, K, O, M$ лежат на одной окружности.

6. Поскольку точка $O$ — инцентр треугольника $ABC$, то биссектриса угла $\angle A$ также проходит через точку $O$. Это значит, что луч $AO$ является биссектрисой угла $\angle A$.
Следовательно, $\angle KAO = \angle MAO$.

7. В окружности, описанной вокруг четырехугольника $AKOM$, углы $\angle KAO$ и $\angle MAO$ являются вписанными. Эти углы опираются на хорды $OK$ и $OM$ соответственно. В одной окружности равные вписанные углы опираются на равные хорды. Так как $\angle KAO = \angle MAO$, то и хорды, на которые они опираются, равны:
$OK = OM$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $OK = OM$ доказано.