Номер 10.26, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.26. Равные равносторонние треугольники $ABC$ и $CDE$ расположены так, как показано на рисунке 10.13. Точки $K$, $M$ и $L$ — середины отрезков $AC$, $BD$ и $CE$ соответственно. Докажите, что треугольник $KML$ равносторонний.

Рис. 10.13

10.26. Равные равносторонние треугольники $ABC$ и $CDE$ расположены так, как показано на рисунке 10.13. Точки $K$, $M$ и $L$ — середины отрезков $AC$, $BD$ и $CE$ соответственно. Докажите, что треугольник $KML$ равносторонний.

Рис. 10.13

Для доказательства того, что треугольник $KML$ является равносторонним, воспользуемся методом комплексных чисел. Этот метод позволяет элегантно работать с поворотами и векторами на плоскости.

1. Разместим заданную конфигурацию на комплексной плоскости так, чтобы точка $C$ совпадала с началом координат. Таким образом, комплексное число, соответствующее точке $C$, равно 0. Пусть точкам $A, B, D, E$ соответствуют комплексные числа $a, b, d, e$.

2. Точки $K, M, L$ являются серединами отрезков $AC, BD, CE$ соответственно. Их комплексные координаты $k, m, l$ выражаются через координаты вершин:

• $k = \frac{a+c}{2} = \frac{a}{2}$ (поскольку $c=0$)
• $l = \frac{c+e}{2} = \frac{e}{2}$ (поскольку $c=0$)
• $m = \frac{b+d}{2}$

3. Треугольники $ABC$ и $CDE$ равносторонние. Это означает, что вектор $\vec{CB}$ может быть получен поворотом вектора $\vec{CA}$ на $60^\circ$, а вектор $\vec{CE}$ — поворотом вектора $\vec{CD}$ на $60^\circ$. На комплексной плоскости поворот на $60^\circ$ против часовой стрелки соответствует умножению на комплексное число $\omega = e^{i\pi/3} = \cos(60^\circ) + i\sin(60^\circ)$. Из рисунка следует, что оба треугольника имеют одинаковую ориентацию (например, обход вершин $A \to B \to C$ и $D \to E \to C$ происходит в одном направлении). Таким образом, мы можем записать следующие соотношения:

• $b - c = \omega (a - c) \implies b = \omega a$
• $e - c = \omega (d - c) \implies e = \omega d$

Для числа $\omega$ справедливо важное тождество: $\omega^2 = \omega - 1$.

4. Чтобы доказать, что треугольник $KML$ равносторонний, достаточно показать, что одна из его сторон может быть получена поворотом другой на $60^\circ$. Например, докажем, что вектор $\vec{LM}$ получается из вектора $\vec{LK}$ поворотом на $60^\circ$. В терминах комплексных чисел это эквивалентно равенству $m - l = \omega (k - l)$.

5. Выразим левую и правую части этого предполагаемого равенства через $a$ и $d$.

Левая часть:
$m - l = \frac{b+d}{2} - \frac{e}{2} = \frac{b+d-e}{2}$
Подставим $b = \omega a$ и $e = \omega d$:
$m - l = \frac{\omega a + d - \omega d}{2} = \frac{\omega a + (1-\omega)d}{2}$

Правая часть:
$\omega (k - l) = \omega \left(\frac{a}{2} - \frac{e}{2}\right) = \frac{\omega(a-e)}{2}$
Подставим $e = \omega d$:
$\omega (k - l) = \frac{\omega a - \omega e}{2} = \frac{\omega a - \omega(\omega d)}{2} = \frac{\omega a - \omega^2 d}{2}$

6. Теперь сравним полученные выражения для левой и правой частей. Используем тождество $\omega^2 = \omega - 1$, из которого следует, что $1 - \omega = -\omega^2$.
Преобразуем выражение для левой части:
$m - l = \frac{\omega a + (1-\omega)d}{2} = \frac{\omega a - \omega^2 d}{2}$
Это выражение в точности совпадает с выражением для правой части.
Таким образом, мы доказали, что $m - l = \omega (k - l)$.

7. Равенство $m - l = \omega (k - l)$ означает, что вектор $\vec{LM}$ (представленный комплексным числом $m-l$) получается поворотом вектора $\vec{LK}$ (представленного числом $k-l$) на $60^\circ$ против часовой стрелки. Это означает, что длины этих векторов равны ($|\vec{LM}| = |\vec{LK}|$), а угол между ними составляет $60^\circ$. Следовательно, треугольник $KML$ является равносторонним.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $KML$ является равносторонним.