Номер 10.24, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.24. Докажите, что высоты $AH_1$, $BH_2$ и $CH_3$ остроугольного треугольника $ABC$ делят пополам углы треугольника $H_1H_2H_3$.

10.24. Докажите, что высоты $AH_1$, $BH_2$ и $CH_3$ остроугольного треугольника $ABC$ делят пополам углы треугольника $H_1H_2H_3$.

Докажем, что высоты $AH_1, BH_2, CH_3$ остроугольного треугольника $ABC$ являются биссектрисами углов треугольника $H_1H_2H_3$, который называют ортотреугольником. В силу симметрии задачи, достаточно доказать, что одна из высот, например $AH_1$, является биссектрисой угла $\angle H_3H_1H_2$. Для этого установим равенство углов $\angle AH_1H_2 = \angle AH_1H_3$.

Рассмотрим четырехугольник $ABH_1H_2$. Так как $AH_1$ и $BH_2$ являются высотами, то $AH_1 \perp BC$ и $BH_2 \perp AC$. Отсюда $\angle AH_1B = 90^\circ$ и $\angle AH_2B = 90^\circ$. Поскольку из точек $H_1$ и $H_2$ отрезок $AB$ виден под прямым углом, эти четыре точки $A, B, H_1, H_2$ лежат на одной окружности с диаметром $AB$. Следовательно, четырехугольник $ABH_1H_2$ — вписанный. В этом четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AH_2$, равны: $\angle AH_1H_2 = \angle ABH_2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH_2$ имеем $\angle ABH_2 = 90^\circ - \angle BAC$. Обозначим $\angle BAC$ как $\angle A$. Тогда $\angle AH_1H_2 = 90^\circ - \angle A$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ACH_1H_3$. Так как $AH_1$ и $CH_3$ являются высотами, то $AH_1 \perp BC$ и $CH_3 \perp AB$. Отсюда $\angle AH_1C = 90^\circ$ и $\angle AH_3C = 90^\circ$. Поскольку из точек $H_1$ и $H_3$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, эти четыре точки $A, C, H_1, H_3$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$. Следовательно, четырехугольник $ACH_1H_3$ — вписанный. В нем углы, опирающиеся на одну дугу $AH_3$, равны: $\angle AH_1H_3 = \angle ACH_3$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACH_3$ имеем $\angle ACH_3 = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - \angle A$. Таким образом, $\angle AH_1H_3 = 90^\circ - \angle A$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $\angle AH_1H_2 = \angle AH_1H_3 = 90^\circ - \angle A$. Это означает, что луч $AH_1$ делит угол $\angle H_3H_1H_2$ пополам, то есть $AH_1$ является биссектрисой этого угла.

Аналогичным образом, рассматривая другие пары вписанных четырехугольников ($BCH_2H_3$ и $ABH_1H_2$; $ACH_1H_3$ и $BCH_2H_3$), можно доказать, что высота $BH_2$ является биссектрисой угла $\angle H_1H_2H_3$, а высота $CH_3$ — биссектрисой угла $\angle H_2H_3H_1$.

Ответ: Доказано, что высоты $AH_1, BH_2$ и $CH_3$ остроугольного треугольника $ABC$ делят пополам углы треугольника $H_1H_2H_3$.