Номер 10.18, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.18. Выпуклый четырёхугольник разрезан прямыми на 25 вписанных четырёхугольников (рис. 10.11). Докажите, что данный четырёхугольник также вписанный.

Рис. 10.11

10.18. Выпуклый четырёхугольник разрезан прямыми на 25 вписанных четырёхугольников (рис. 10.11). Докажите, что данный четырёхугольник также вписанный.

Рис. 10.11

Для доказательства того, что исходный четырёхугольник является вписанным, нам нужно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Разобьём задачу на несколько шагов. Пусть большой четырёхугольник разрезан двумя семействами прямых. Одно семейство состоит из 4 прямых, которые мы условно назовём «горизонтальными», а другое — из 4 «вертикальных» прямых. Вместе с четырьмя сторонами исходного четырёхугольника эти прямые образуют сетку $5 \times 5$. Обозначим линии сетки как $h_0, h_1, \dots, h_5$ и $v_0, v_1, \dots, v_5$, где $h_0, h_5, v_0, v_5$ — стороны исходного четырёхугольника.

Пусть $V_{i,j}$ — точка пересечения прямой $h_i$ и прямой $v_j$. Маленький четырёхугольник $Q_{ij}$ (для $i,j$ от 1 до 5) ограничен линиями $h_{i-1}, h_i, v_{j-1}, v_j$. Его вершины — $V_{i-1,j-1}, V_{i-1,j}, V_{i,j}, V_{i,j-1}$.

Обозначим углы каждого малого четырёхугольника $Q_{ij}$ следующим образом:

• $\alpha_{ij}$ — угол при вершине $V_{i-1,j-1}$ (северо-западный)
• $\beta_{ij}$ — угол при вершине $V_{i-1,j}$ (северо-восточный)
• $\gamma_{ij}$ — угол при вершине $V_{i,j}$ (юго-восточный)
• $\delta_{ij}$ — угол при вершине $V_{i,j-1}$ (юго-западный)

По условию, каждый четырёхугольник $Q_{ij}$ вписанный. Следовательно, для него выполняется свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).
$\alpha_{ij} + \gamma_{ij} = 180^\circ$
$\beta_{ij} + \delta_{ij} = 180^\circ$

Теперь рассмотрим два соседних четырёхугольника в одном ряду, $Q_{ij}$ и $Q_{i,j+1}$. Они имеют общую сторону, которая лежит на прямой $v_j$. Вершины $V_{i-1,j}$ и $V_{i,j}$ лежат на этой прямой. Углы $\beta_{ij}$ и $\alpha_{i,j+1}$ являются смежными при вершине $V_{i-1,j}$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Аналогично для углов $\gamma_{ij}$ и $\delta_{i,j+1}$ при вершине $V_{i,j}$.
$\beta_{ij} + \alpha_{i,j+1} = 180^\circ$
$\gamma_{ij} + \delta_{i,j+1} = 180^\circ$

Из этих равенств и свойств вписанного четырёхугольника $Q_{ij}$ выведем рекуррентные соотношения. Из $\beta_{ij} + \delta_{ij} = 180^\circ$ и $\beta_{ij} + \alpha_{i,j+1} = 180^\circ$ следует, что $\alpha_{i,j+1} = \delta_{ij}$.Из $\alpha_{ij} + \gamma_{ij} = 180^\circ$ и $\gamma_{ij} + \delta_{i,j+1} = 180^\circ$ следует, что $\delta_{i,j+1} = \alpha_{ij}$.Комбинируя эти два результата, получаем: $\alpha_{i,j+2} = \delta_{i,j+1} = \alpha_{ij}$.Это означает, что в любом ряду $i$ углы $\alpha$ с нечётными номерами столбцов равны между собой, и углы с чётными номерами столбцов также равны между собой:$\alpha_{i,1} = \alpha_{i,3} = \alpha_{i,5}$ и $\alpha_{i,2} = \alpha_{i,4}$.

Аналогично рассмотрим два соседних четырёхугольника в одном столбце, $Q_{ij}$ и $Q_{i+1,j}$. Они имеют общую сторону на прямой $h_i$. Применяя тот же подход, получаем:$\delta_{ij} + \alpha_{i+1,j} = 180^\circ$ (при вершине $V_{i,j-1}$)
$\gamma_{ij} + \beta_{i+1,j} = 180^\circ$ (при вершине $V_{i,j}$)
Из этих равенств и свойств вписанного $Q_{ij}$ ($\beta_{ij} + \delta_{ij} = 180^\circ$ и $\alpha_{ij} + \gamma_{ij} = 180^\circ$) выводим:$\alpha_{i+1,j} = \beta_{ij}$ и $\beta_{i+1,j} = \alpha_{ij}$.Отсюда следует: $\alpha_{i+2,j} = \beta_{i+1,j} = \alpha_{ij}$.Это означает, что в любом столбце $j$ углы $\alpha$ с нечётными номерами рядов равны между собой, и углы с чётными номерами рядов также равны между собой:$\alpha_{1,j} = \alpha_{3,j} = \alpha_{5,j}$ и $\alpha_{2,j} = \alpha_{4,j}$.

Теперь рассмотрим углы большого четырёхугольника. Его вершины — это $V_{00}, V_{50}, V_{55}, V_{05}$. Пусть это будут вершины $A, B, C, D$ соответственно (в порядке обхода против часовой стрелки: $A=V_{00}, D=V_{05}, C=V_{55}, B=V_{50}$). Угол $A$ большого четырёхугольника — это угол $\alpha_{11}$ четырёхугольника $Q_{11}$. Угол $C$ — это угол $\gamma_{55}$ четырёхугольника $Q_{55}$.Мы хотим доказать, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$, то есть $\alpha_{11} + \gamma_{55} = 180^\circ$.

Поскольку $Q_{55}$ вписанный, то $\alpha_{55} + \gamma_{55} = 180^\circ$. Если мы докажем, что $\alpha_{11} = \alpha_{55}$, то докажем и требуемое утверждение. Используем полученные соотношения:

1. Так как номера рядов 1 и 5 оба нечётные, то для любого столбца $j$ верно $\alpha_{1,j} = \alpha_{5,j}$. Возьмём $j=5$, тогда $\alpha_{1,5} = \alpha_{5,5}$.
2. Так как номера столбцов 1 и 5 оба нечётные, то для любого ряда $i$ верно $\alpha_{i,1} = \alpha_{i,5}$. Возьмём $i=1$, тогда $\alpha_{1,1} = \alpha_{1,5}$.

Из этих двух равенств следует, что $\alpha_{11} = \alpha_{15} = \alpha_{55}$.

Итак, мы показали, что $\alpha_{11} = \alpha_{55}$. Подставим это в условие вписанности для $Q_{55}$:$\alpha_{11} + \gamma_{55} = 180^\circ$.Это означает, что сумма противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$ исходного большого четырёхугольника равна $180^\circ$. Так как четырёхугольник выпуклый, этого условия достаточно, чтобы утверждать, что он является вписанным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Данный четырёхугольник также является вписанным.