Номер 10.17, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.17. Вписанная окружность с центром $O$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает биссектрису угла $B$ в точке $P$ (рис. 10.10). Докажите, что точки $N$, $O$, $C$ и $P$ лежат на одной окружности.

Рис. 10.10

10.17. Вписанная окружность с центром $O$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает биссектрису угла $B$ в точке $P$ (рис. 10.10). Докажите, что точки $N, O, C$ и $P$ лежат на одной окружности.

Рис. 10.10

Доказательство

Для того чтобы доказать, что точки $N$, $O$, $C$ и $P$ лежат на одной окружности, достаточно показать, что четырехугольник $NOCP$ является вписанным в окружность. Одним из признаков вписанного четырехугольника является равенство углов, опирающихся на одну и ту же сторону. Докажем, что $\angle OPN = \angle OCN$.

1. Найдем угол $\angle OCN$.
Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, следовательно, $O$ является точкой пересечения его биссектрис. Таким образом, $CO$ — биссектриса угла $\angle C$.Следовательно, $\angle OCN = \frac{\angle C}{2}$.

2. Найдем угол $\angle OPN$.
Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $B$, поэтому точки $B$, $O$, $P$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle OPN$ совпадает с углом $\angle BPN$. Чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник $BMP$.

Сначала найдем угол $\angle BMN$.По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, $AM = AN$. Следовательно, треугольник $AMN$ — равнобедренный с основанием $MN$. Углы при основании равны:$\angle AMN = \angle ANM = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$.Углы $\angle AMN$ и $\angle BMN$ являются смежными, так как точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой.$\angle BMN = 180^\circ - \angle AMN = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\angle A}{2}) = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}$.

Теперь рассмотрим сумму углов в треугольнике $BMP$:$\angle PBM + \angle BMN + \angle MPB = 180^\circ$.Угол $\angle PBM$ является половиной угла $B$, так как $BP$ — биссектриса:$\angle PBM = \frac{\angle B}{2}$.Угол $\angle MPB$ — это искомый угол $\angle BPN$.$\angle BPN = 180^\circ - \angle PBM - \angle BMN = 180^\circ - \frac{\angle B}{2} - (90^\circ + \frac{\angle A}{2}) = 90^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$.

Из свойства суммы углов треугольника $ABC$ имеем $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда $\frac{\angle A + \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$.Подставим это выражение в формулу для $\angle BPN$:$\angle BPN = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\angle C}{2}) = \frac{\angle C}{2}$.Так как $\angle OPN = \angle BPN$, получаем $\angle OPN = \frac{\angle C}{2}$.

3. Заключение.
Мы получили, что $\angle OPN = \frac{\angle C}{2}$ и $\angle OCN = \frac{\angle C}{2}$. Таким образом, $\angle OPN = \angle OCN$.Точки $P$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $ON$. Поскольку отрезок $ON$ виден из точек $P$ и $C$ под одинаковым углом, то точки $N$, $O$, $C$ и $P$ лежат на одной окружности.Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки N, O, C и P лежат на одной окружности.