Номер 10.23, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.23. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна $d$. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом $120^\circ$. Найдите среднюю линию трапеции.

10.23.Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна $d$. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом $120^\circ$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $ABCD$ — трапеция, вписанная в окружность, с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Любая трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной, поэтому $AB = CD$, и её диагонали равны: $AC = BD = d$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности. По условию, боковая сторона видна из центра под углом $120^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $120^\circ$, то есть $\angle AOB = 120^\circ$.

Угол $\angle ADB$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно: $$ \angle ADB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ $$

Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле $m = \frac{AD + BC}{2}$. Для нахождения суммы оснований выполним дополнительное построение. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. В нём $BC \parallel AE$ (поскольку $BC \parallel AD$), а значит $BC \parallel DE$. Стороны $BD$ и $CE$ параллельны по построению. Таким образом, $BCED$ — это параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны: $BC = DE$ и $BD = CE$.

Поскольку диагонали вписанной трапеции равны ($AC = BD$), а $BD = CE$, то $AC = CE = d$. Это означает, что треугольник $\triangle ACE$ является равнобедренным.

Рассмотрим параллельные прямые $BD$ и $CE$ и секущую $AE$. Углы $\angle BDA$ и $\angle CEA$ являются соответственными, поэтому они равны: $$ \angle CEA = \angle BDA = 60^\circ $$ В равнобедренном треугольнике $\triangle ACE$ ($AC=CE$) углы при основании $AE$ равны: $\angle CAE = \angle CEA$. Так как мы нашли, что $\angle CEA = 60^\circ$, то и $\angle CAE$ также равен $60^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. В $\triangle ACE$ два угла равны $60^\circ$, следовательно, третий угол $\angle ACE$ также равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Это означает, что $\triangle ACE$ — равносторонний. Поэтому все его стороны равны $d$, в частности $AE = d$.

Теперь мы можем найти среднюю линию трапеции: $$ m = \frac{AD + BC}{2} $$ Используя равенство $BC = DE$, полученное из свойств параллелограмма, получаем: $$ m = \frac{AD + DE}{2} = \frac{AE}{2} $$ Подставляя $AE = d$, находим окончательный результат: $$ m = \frac{d}{2} $$

Ответ: $\frac{d}{2}$