Номер 10.19, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.19. Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Через точку $A$ первой окружности проведены прямые $AP$ и $AQ$, пересекающие вторую окружность в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что касательная в точке $A$ к первой окружности параллельна прямой $BC$.

10.19. Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Через точку $A$ первой окружности проведены прямые $AP$ и $AQ$, пересекающие вторую окружность в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что касательная в точке $A$ к первой окружности параллельна прямой $BC$.

Обозначим первую окружность, на которой лежит точка $A$, как $\omega_1$, а вторую — как $\omega_2$. Пусть $l$ — касательная к окружности $\omega_1$ в точке $A$.

Для доказательства параллельности прямой $l$ и прямой $BC$ мы воспользуемся признаком параллельности прямых, согласно которому две прямые параллельны, если при их пересечении секущей накрест лежащие углы равны.

1. Рассмотрим окружность $\omega_1$. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $l$, проведенной в точке $A$, и хордой $AP$ равен величине вписанного угла, опирающегося на дугу $AP$. Таким углом является $\angle AQP$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle(l, AP) = \angle AQP$

2. Теперь рассмотрим окружность $\omega_2$. Точки $P, Q, C, B$ лежат на этой окружности, следовательно, четырехугольник $PQCB$ является вписанным в окружность. Одно из свойств вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Отсюда следует:

$\angle PQC + \angle PBC = 180^\circ$

3. По условию задачи, точки $A, Q, C$ лежат на одной прямой. Это означает, что углы $\angle AQP$ и $\angle PQC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:

$\angle AQP + \angle PQC = 180^\circ$

4. Сравнивая выражения из пунктов 2 и 3, мы видим, что:

$\angle AQP = 180^\circ - \angle PQC$

$\angle PBC = 180^\circ - \angle PQC$

Отсюда следует, что $\angle AQP = \angle PBC$.

5. По условию, точки $A, P, B$ также лежат на одной прямой. Это значит, что угол $\angle PBC$ является тем же углом, что и $\angle ABC$. Следовательно, $\angle AQP = \angle ABC$.

6. Теперь объединим результаты, полученные в пунктах 1 и 5:

$\angle(l, AP) = \angle AQP$ и $\angle AQP = \angle ABC$

Из этого следует, что $\angle(l, AP) = \angle ABC$.

7. Рассмотрим прямые $l$ и $BC$ и прямую $AB$ в качестве секущей. Угол $\angle(l, AP)$ (тот же, что и угол между прямой $l$ и секущей $AB$) и угол $\angle ABC$ являются накрест лежащими углами.

Поскольку мы доказали, что эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямая $l$ параллельна прямой $BC$.

Таким образом, доказано, что касательная в точке $A$ к первой окружности параллельна прямой $BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.