Номер 10.13, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.13. Из точки $O$, принадлежащей остроугольному треугольнику $ABC$, на стороны $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно опущены перпендикуляры $OO_1$, $OO_2$ и $OO_3$. Докажите, что $\angle AOC = \angle O_3O_1A + \angle O_3O_2C$.

10.13. Из точки $O$, принадлежащей остроугольному треугольнику $ABC$, на стороны $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно опущены перпендикуляры $OO_1$, $OO_2$ и $OO_3$. Докажите, что $\angle AOC = \angle O_3O_1A + \angle O_3O_2C$.

Рассмотрим четырехугольник $AO_1OO_3$. По условию задачи, $OO_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AB$, а $OO_3$ — перпендикуляр, опущенный на сторону $AC$. Это означает, что $\angle OO_1A = 90^\circ$ и $\angle OO_3A = 90^\circ$.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике $AO_1OO_3$ равна $\angle OO_1A + \angle OO_3A = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Согласно свойству вписанного четырехугольника, если сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, точки $A, O_1, O, O_3$ лежат на одной окружности.

В этой окружности углы $\angle O_3O_1A$ и $\angle O_3OA$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $O_3A$. По свойству вписанных углов, они равны:
$\angle O_3O_1A = \angle O_3OA$.

Теперь аналогично рассмотрим четырехугольник $CO_2OO_3$. По условию, $OO_2 \perp BC$ и $OO_3 \perp CA$, следовательно, $\angle OO_2C = 90^\circ$ и $\angle OO_3C = 90^\circ$.

Сумма противоположных углов в этом четырехугольнике равна $\angle OO_2C + \angle OO_3C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что четырехугольник $CO_2OO_3$ также является вписанным.

В окружности, описанной около $CO_2OO_3$, вписанные углы $\angle O_3O_2C$ и $\angle O_3OC$ опираются на одну и ту же дугу $O_3C$, а значит, они равны:
$\angle O_3O_2C = \angle O_3OC$.

Рассмотрим угол $\angle AOC$. Так как точка $O$ находится внутри треугольника $ABC$, а точка $O_3$ лежит на стороне $AC$, луч $OO_3$ проходит между лучами $OA$ и $OC$. Поэтому угол $\angle AOC$ можно представить в виде суммы двух углов:
$\angle AOC = \angle AOO_3 + \angle COO_3$.

Заменим в этом равенстве $\angle AOO_3$ (что эквивалентно $\angle O_3OA$) и $\angle COO_3$ (эквивалентно $\angle O_3OC$) на равные им углы, которые мы нашли ранее:
$\angle AOC = \angle O_3O_1A + \angle O_3O_2C$.

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано.