Номер 10.8, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.8. Высоты $A A_1$ и $C C_1$ остроугольного треугольника $A B C$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что:

1) точки $H, C_1, B$ и $A_1$ лежат на одной окружности;

2) точки $A, C_1, A_1$ и $C$ лежат на одной окружности.

10.8. Высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что:

1) точки $H$, $C_1$, $B$ и $A_1$ лежат на одной окружности;

2) точки $A$, $C_1$, $A_1$ и $C$ лежат на одной окружности.

1) Рассмотрим четырехугольник $HC_1BA_1$. По условию, $AA_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, следовательно, $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$. Это означает, что $\angle AA_1B = 90^\circ$ и $\angle CC_1B = 90^\circ$. Так как точка $H$ лежит на высотах $AA_1$ и $CC_1$, то $\angle HA_1B = 90^\circ$ и $\angle HC_1B = 90^\circ$. Рассмотрим сумму противолежащих углов четырехугольника $HC_1BA_1$: $\angle HC_1B + \angle HA_1B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Согласно признаку вписанного четырехугольника, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, точки $H, C_1, B$ и $A_1$ лежат на одной окружности. Также можно заметить, что отрезок $BH$ является диаметром этой окружности, так как на него опираются прямые углы $\angle HC_1B$ и $\angle HA_1B$.
Ответ: утверждение доказано.

2) Рассмотрим точки $A, C_1, A_1$ и $C$. По условию, $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, следовательно $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$. Отсюда следует, что $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$. Точки $A_1$ и $C_1$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Отрезок $AC$ виден из точек $A_1$ и $C_1$ под одинаковым углом, равным $90^\circ$. Согласно свойству, если две точки, лежащие по одну сторону от прямой, видят отрезок с концами на этой прямой под одинаковым углом, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Таким образом, точки $A, C_1, A_1$ и $C$ лежат на одной окружности. В данном случае, так как углы, опирающиеся на отрезок $AC$, прямые, то $AC$ является диаметром этой окружности.
Ответ: утверждение доказано.