Номер 10.10, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.10. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

10.10. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$.

Поскольку трапецию можно вписать в окружность, она является равнобокой. Это означает, что ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при каждом основании равны ($\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$).

По условию, центр окружности $O$ принадлежит большему основанию $AD$. Следовательно, $AD$ является диаметром окружности. Пусть радиус окружности равен $R$. Тогда $AD = 2R$, а отрезки, соединяющие центр с вершинами трапеции, равны радиусу: $OA = OB = OC = OD = R$.

Также по условию, боковая сторона равна меньшему основанию: $CD = BC$. Так как трапеция равнобокая ($AB = CD$), то получаем, что $AB = BC = CD$.

Рассмотрим три треугольника с общей вершиной в центре окружности: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$. В этих треугольниках две стороны равны радиусу $R$ ($OA=OB=OC=OD=R$), а третья сторона у всех трех треугольников одинакова ($AB = BC = CD$). Следовательно, по трем сторонам, $\triangle AOB \cong \triangle BOC \cong \triangle COD$.

Из равенства треугольников следует равенство их углов при вершине $O$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

Точки $A$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (диаметре), поэтому развернутый угол $\angle AOD$ равен $180^\circ$. Этот угол составлен из трех центральных углов, опирающихся на дугу $ABCD$: $\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$.

Так как эти три угла равны, то каждый из них равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. То есть, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Он равнобедренный, так как $OB = OC = R$. Угол между этими сторонами $\angle BOC = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны радиусу: $BC = OB = OC = R$.

Отсюда следует, что и боковые стороны равны радиусу: $AB = CD = R$. Таким образом, треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$ являются равносторонними, и все их углы равны $60^\circ$.

Найдем углы трапеции. Угол при большем основании $\angle D$ совпадает с углом $\angle ODC$ равностороннего треугольника $\triangle COD$. Следовательно, $\angle D = 60^\circ$. Так как трапеция равнобокая, $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Угол при меньшем основании $\angle C$ состоит из двух углов: $\angle C = \angle BCO + \angle OCD$. Так как треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle COD$ равносторонние, то $\angle BCO = 60^\circ$ и $\angle OCD = 60^\circ$. Таким образом, $\angle C = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Так как трапеция равнобокая, $\angle B = \angle C = 120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.