Номер 10.14, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.14. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки A на прямые, проходящие через данную точку B.

10.14. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки $A$ на прямые, проходящие через данную точку $B$.

Пусть даны две точки $A$ и $B$. Рассмотрим произвольную прямую $l$, проходящую через точку $B$. Пусть $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$.

По определению основания перпендикуляра, точка $P$ лежит на прямой $l$, и прямая $AP$ перпендикулярна прямой $l$, то есть $AP \perp l$.

Поскольку прямая $l$ проходит через точку $B$, а точка $P$ также лежит на прямой $l$, то прямая $l$ является прямой $BP$ (за исключением случая, когда $P=B$).

Из условия перпендикулярности $AP \perp l$ следует, что $AP \perp BP$. Это означает, что угол $\angle APB$ является прямым, то есть $\angle APB = 90^\circ$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это множество всех точек $P$, для которых отрезок $AB$ виден под прямым углом.

Известно, что геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, является окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре.

Проверим это.

1. Пусть $P$ — любая точка искомого геометрического места. Тогда, как мы показали, $\angle APB = 90^\circ$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, точка $P$ лежит на окружности с диаметром $AB$.

2. Пусть $P$ — любая точка на окружности с диаметром $AB$. Тогда вписанный угол $\angle APB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Это означает, что $AP \perp BP$. Рассмотрим прямую $l$, проходящую через точки $B$ и $P$. Так как $AP \perp BP$, то $P$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$, проходящую через точку $B$. Следовательно, точка $P$ принадлежит искомому геометрическому месту.

Мы доказали, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с множеством точек окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре.

Отдельно рассмотрим случай, когда точки $A$ и $B$ совпадают. Тогда любая прямая $l$, проходящая через $B$, проходит и через $A$. Основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$, проходящую через $A$, есть сама точка $A$. В этом случае искомое геометрическое место состоит из одной точки $A$, что соответствует вырожденной окружности с нулевым радиусом.

Ответ: Окружность, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре. Если точки $A$ и $B$ совпадают, то искомое геометрическое место — это сама точка $A$.