Номер 10.12, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.12. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$ и $CC_1$. Известно, что $\angle AA_1 C = \angle CC_1 A$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

10.12. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$ и $CC_1$. Известно, что $\angle AA_1C = \angle CC_1A$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть медианы $AA_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Точка $M$ является центроидом треугольника.

Рассмотрим треугольники $\triangle C_1MA$ и $\triangle A_1MC$.

1. Углы $\angle C_1MA$ и $\angle A_1MC$ равны как вертикальные.

2. По условию задачи $\angle AA_1C = \angle CC_1A$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезках $AA_1$ и $CC_1$, то $\angle MA_1C = \angle AA_1C$ и $\angle MC_1A = \angle CC_1A$. Следовательно, $\angle MA_1C = \angle MC_1A$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle C_1MA$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle A_1MC$), то и третьи углы этих треугольников равны: $\angle MC A_1 = \angle MAC_1$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. В нем углы при основании $AC$ равны ($\angle MCA = \angle MAC$), следовательно, $\triangle AMC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AM = CM$.

Точка $M$ как центроид делит медианы в отношении $2:1$, считая от вершины. Это означает, что $AM = \frac{2}{3}AA_1$ и $CM = \frac{2}{3}CC_1$.

Из равенства $AM = CM$ следует, что $\frac{2}{3}AA_1 = \frac{2}{3}CC_1$, а значит, медианы $AA_1$ и $CC_1$ равны.

Теперь докажем, что если две медианы в треугольнике равны, то треугольник является равнобедренным. Пусть стороны треугольника $BC=a$ и $AB=c$. Мы доказали, что медиана к стороне $BC$ ($m_a = AA_1$) равна медиане к стороне $AB$ ($m_c = CC_1$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABA_1$ и $\triangle CBC_1$. Угол $\angle B$ у них общий. Применим к ним теорему косинусов для нахождения квадратов длин медиан.

Для $\triangle ABA_1$ (сторона $AA_1$):
$AA_1^2 = AB^2 + BA_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BA_1 \cdot \cos(\angle B)$
Поскольку $BA_1 = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$, получаем:
$m_a^2 = c^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot c \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(\angle B) = c^2 + \frac{a^2}{4} - ac \cdot \cos(\angle B)$

Для $\triangle CBC_1$ (сторона $CC_1$):
$CC_1^2 = CB^2 + BC_1^2 - 2 \cdot CB \cdot BC_1 \cdot \cos(\angle B)$
Поскольку $BC_1 = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$, получаем:
$m_c^2 = a^2 + (\frac{c}{2})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{c}{2} \cdot \cos(\angle B) = a^2 + \frac{c^2}{4} - ac \cdot \cos(\angle B)$

Так как $m_a = m_c$, то $m_a^2 = m_c^2$. Приравняем правые части полученных выражений:
$c^2 + \frac{a^2}{4} - ac \cdot \cos(\angle B) = a^2 + \frac{c^2}{4} - ac \cdot \cos(\angle B)$
$c^2 + \frac{a^2}{4} = a^2 + \frac{c^2}{4}$
$c^2 - \frac{c^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$\frac{3c^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$c^2 = a^2$

Поскольку длины сторон могут быть только положительными, $c=a$. Это означает, что сторона $AB$ равна стороне $BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $\angle AA_1C = \angle CC_1A$ следует, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.