Номер 10.5, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.5. Сторона $AD$ четырёхугольника $ABCD$ является диаметром описанной около него окружности. Известно, что $\angle ABC = 108^{\circ}$, $\angle BCD = 132^{\circ}$. Найдите углы $\angle BAD$, $\angle ADC$, $\angle CAD$ и $\angle BDA$.

10.5. Сторона $AD$ четырёхугольника $ABCD$ является диаметром описанной около него окружности. Известно, что $\angle ABC = 108^\circ$, $\angle BCD = 132^\circ$. Найдите углы $BAD, ADC, CAD$ и $BDA$.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Также, по условию, сторона $AD$ является диаметром описанной окружности. Это означает, что вписанные углы, опирающиеся на $AD$, являются прямыми.

Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle ABC = 108^\circ$:

$108^\circ + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Ответ: $\angle ADC = 72^\circ$.

Аналогично, углы $\angle BCD$ и $\angle BAD$ являются противоположными, и их сумма также равна $180^\circ$.

$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle BCD = 132^\circ$:

$132^\circ + \angle BAD = 180^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$

Ответ: $\angle BAD = 48^\circ$.

Так как сторона $AD$ является диаметром, то вписанный угол $\angle ABD$, опирающийся на этот диаметр, является прямым: $\angle ABD = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$.

$\angle BAD + \angle BDA = 90^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle BAD = 48^\circ$. Подставим это значение:

$48^\circ + \angle BDA = 90^\circ$

$\angle BDA = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$

Ответ: $\angle BDA = 42^\circ$.

Так как сторона $AD$ является диаметром, то вписанный угол $\angle ACD$, опирающийся на этот диаметр, также является прямым: $\angle ACD = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$.

$\angle CAD + \angle ADC = 90^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle ADC = 72^\circ$. Подставим это значение:

$\angle CAD + 72^\circ = 90^\circ$

$\angle CAD = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$

Ответ: $\angle CAD = 18^\circ$.