Номер 9.31, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.31. Две окружности имеют внешнее касание в точке $D$. Провели прямую, которая касается одной окружности в точке $A$, а другую пересекает в точках $B$ и $C$ (рис. 9.18). Докажите, что точка $A$ равноудалена от прямых $DB$ и $DC$.

Рис. 9.18

9.31. Две окружности имеют внешнее касание в точке $D$. Провели прямую, которая касается одной окружности в точке $A$, а другую пересекает в точках $B$ и $C$ (рис. 9.18). Докажите, что точка $A$ равноудалена от прямых $DB$ и $DC$.

Рис. 9.18

Для того чтобы доказать, что точка А равноудалена от прямых DB и DC, необходимо доказать, что прямая AD является биссектрисой угла $ \angle BDC $. Иными словами, нужно доказать, что $ \angle ADB = \angle ADC $.

Проведём через точку D общую касательную к обеим окружностям и обозначим её t. Выберем на касательной t точку T так, чтобы луч DC находился между лучами DA и DT.

1. Рассмотрим окружность, которой прямая AC касается в точке A. AD является хордой этой окружности. Существует свойство, согласно которому угол между хордой и касательной, проведённой через один конец хорды, равен углу между этой же хордой и касательной, проведённой через другой её конец. Следовательно, угол между хордой AD и касательной AC равен углу между хордой AD и касательной t.

$ \angle CAD = \angle ADT $

2. Рассмотрим вторую окружность, которую прямая AC пересекает в точках B и C. Для этой окружности DC — хорда, а t — касательная в точке D. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной t и хордой DC равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду в альтернативном сегменте.

$ \angle CDT = \angle CBD $

3. Из расположения лучей DA, DC и DT на плоскости следует, что $ \angle ADT = \angle ADC + \angle CDT $. Используя равенства из предыдущих пунктов, мы можем записать:

$ \angle CAD = \angle ADC + \angle CDT = \angle ADC + \angle CBD $

Таким образом, мы получили важное соотношение: $ \angle CAD = \angle ADC + \angle CBD \quad (*)$.

4. Теперь запишем сумму углов для треугольника $ \triangle ADC $:

$ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180° $

Подставим в это равенство выражение для $ \angle CAD $ из соотношения $(*)$:

$ (\angle ADC + \angle CBD) + \angle ACD + \angle ADC = 180° $

$ 2\angle ADC + \angle CBD + \angle ACD = 180° \quad (**)$

5. Далее запишем сумму углов для треугольника $ \triangle BDC $:

$ \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180° $

Поскольку точки A, B, C лежат на одной прямой, то $ \angle BCD = \angle ACD $. Угол $ \angle BDC $ можно представить как сумму углов: $ \angle BDC = \angle ADB + \angle ADC $. Перепишем уравнение суммы углов для $ \triangle BDC $:

$ \angle CBD + \angle ACD + (\angle ADB + \angle ADC) = 180° \quad (***)$

6. Правые части уравнений $(**)$ и $(***)$ равны 180°, следовательно, их левые части также равны:

$ 2\angle ADC + \angle CBD + \angle ACD = \angle CBD + \angle ACD + \angle ADB + \angle ADC $

Сократим одинаковые слагаемые $ (\angle ADC + \angle CBD + \angle ACD) $ в обеих частях уравнения:

$ \angle ADC = \angle ADB $

Поскольку $ \angle ADB = \angle ADC $, прямая AD является биссектрисой угла $ \angle BDC $. По определению, любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Следовательно, точка A равноудалена от прямых DB и DC, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.