Номер 9.29, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.29. Точка M принадлежит квадрату $ABCD$, $\angle MAC = \angle MCD = \alpha$. Найдите угол $ABM$.

9.29. Точка $M$ принадлежит квадрату $ABCD$, $\angle MAC = \angle MCD = \alpha$. Найдите угол $ABM$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$. Углы, которые диагональ образует со сторонами, равны $45^\circ$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \angle ACD = \angle CAD = 45^\circ$.

Точка $M$ находится внутри квадрата. Рассмотрим ее положение относительно диагонали $AC$. Точка $M$ может находиться либо в треугольнике $\triangle ABC$, либо в треугольнике $\triangle ADC$.

1. Предположим, что $M$ находится в $\triangle ABC$.Тогда луч $AM$ лежит между лучами $AB$ и $AC$, следовательно $\angle MAC < \angle BAC = 45^\circ$, что означает $\alpha < 45^\circ$.Также луч $CM$ лежит между лучами $CB$ и $CA$. Это означает, что $\angle MCB < \angle ACB = 45^\circ$.Однако из условия $\angle MCD = \alpha$ следует, что $\angle MCB = \angle BCD - \angle MCD = 90^\circ - \alpha$.Тогда условие $\angle MCB < 45^\circ$ превращается в $90^\circ - \alpha < 45^\circ$, что означает $\alpha > 45^\circ$.Получаем противоречие: $\alpha < 45^\circ$ и $\alpha > 45^\circ$. Следовательно, точка $M$ не может находиться в $\triangle ABC$.

2. Значит, точка $M$ находится в $\triangle ADC$.В этом случае луч $AM$ лежит между лучами $AD$ и $AC$, и луч $CM$ лежит между лучами $CD$ и $CA$.Из того, что $CM$ между $CD$ и $CA$, следует $\angle MCD < \angle ACD$, то есть $\alpha < 45^\circ$.Из того, что $AM$ между $AD$ и $AC$, следует $\angle MAC < \angle DAC$, то есть $\alpha < 45^\circ$.Эти условия не противоречат друг другу. Таким образом, точка $M$ находится в $\triangle ADC$.

Теперь найдем углы и стороны, связанные с точкой $M$.Рассмотрим $\triangle AMC$.Нам дан $\angle MAC = \alpha$.Поскольку $M$ лежит в $\triangle ADC$, $\angle MCA = \angle ACD - \angle MCD = 45^\circ - \alpha$.Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle AMC = 180^\circ - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^\circ - (\alpha + 45^\circ - \alpha) = 135^\circ$.

Применим теорему синусов для $\triangle AMC$:$\frac{MC}{\sin(\angle MAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$$\frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 2a$Отсюда находим длину отрезка $MC$: $MC = 2a \sin(\alpha)$.

Теперь рассмотрим $\triangle BMC$.Сторона $BC = a$. Сторону $MC$ мы нашли. Найдем угол между ними.$\angle BCM = \angle BCD - \angle MCD = 90^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для $\triangle BMC$, чтобы найти длину стороны $BM$:$BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos(\angle BCM)$$BM^2 = a^2 + (2a \sin\alpha)^2 - 2 \cdot a \cdot (2a \sin\alpha) \cdot \cos(90^\circ - \alpha)$Так как $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:$BM^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2\alpha - 4a^2 \sin\alpha \cdot \sin\alpha$$BM^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2\alpha - 4a^2 \sin^2\alpha = a^2$Следовательно, $BM = a$.

Наконец, рассмотрим $\triangle ABM$.Мы знаем, что $AB = a$ (сторона квадрата) и мы нашли, что $BM = a$.Значит, $\triangle ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BMA = \angle BAM$.

Найдем угол $\angle BAM$. Так как точка $M$ находится в $\triangle ADC$, ее угол $\angle MAC$ примыкает к углу $\angle BAC$ "снаружи" треугольника $\triangle ABC$.$\angle BAM = \angle BAC + \angle MAC = 45^\circ + \alpha$.

Теперь, зная два угла в $\triangle ABM$, найдем искомый угол $\angle ABM$:$\angle ABM + \angle BMA + \angle BAM = 180^\circ$$\angle ABM + (45^\circ + \alpha) + (45^\circ + \alpha) = 180^\circ$$\angle ABM + 90^\circ + 2\alpha = 180^\circ$$\angle ABM = 180^\circ - 90^\circ - 2\alpha = 90^\circ - 2\alpha$.

Ответ: $90^\circ - 2\alpha$.