Номер 9.26, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.26. В трапеции $ABCD (AD \parallel BC)$ угол $ADB$ в 2 раза меньше угла $ACB$, $BC = AC = 5$ см. Найдите сторону $CD$.

9.26. В трапеции $ABCD (AD \parallel BC)$ угол $ADB$ в 2 раза меньше угла $ACB$, $BC = AC = 5$ см. Найдите сторону $CD$.

Дано: трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$, $\angle ACB = 2 \cdot \angle ADB$, $BC = AC = 5$ см.
Найти: $CD$.

Решение:

1. Обозначим $\angle ADB = \alpha$. Согласно условию, $\angle ACB = 2\alpha$.

2. Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, то $AD \parallel BC$. Прямые $AC$ и $BD$ являются секущими. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны:
$\angle CBD = \angle ADB = \alpha$ (при секущей $BD$).
$\angle CAD = \angle ACB = 2\alpha$ (при секущей $AC$).

3. Рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle ACD$. В них известны стороны $BC = 5$ см и $AC = 5$ см. Применим для них теорему синусов.

Для $\triangle BCD$:
$\frac{CD}{\sin(\angle CBD)} = \frac{BC}{\sin(\angle BDC)}$
Подставим известные значения:
$\frac{CD}{\sin(\alpha)} = \frac{5}{\sin(\angle BDC)}$

Для $\triangle ACD$:
$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$
Подставим известные значения:
$\frac{CD}{\sin(2\alpha)} = \frac{5}{\sin(\angle ADC)}$

4. Из полученных пропорций выразим отношение $\frac{CD}{5}$:
Из первой: $\frac{CD}{5} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle BDC)}$
Из второй: $\frac{CD}{5} = \frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\angle ADC)}$

Приравняем правые части:
$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle BDC)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\angle ADC)}$

5. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:
$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle BDC)} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\angle ADC)}$
Поскольку $\alpha$ — угол в треугольнике, $\sin(\alpha) \neq 0$. Сократим обе части на $\sin(\alpha)$:
$\frac{1}{\sin(\angle BDC)} = \frac{2\cos(\alpha)}{\sin(\angle ADC)}$
Отсюда: $\sin(\angle ADC) = 2\cos(\alpha)\sin(\angle BDC)$.

6. Угол при вершине $D$ трапеции $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = \alpha + \angle BDC$.
Подставим это в предыдущее равенство:
$\sin(\alpha + \angle BDC) = 2\cos(\alpha)\sin(\angle BDC)$

7. Раскроем синус суммы по формуле $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$:
$\sin(\alpha)\cos(\angle BDC) + \cos(\alpha)\sin(\angle BDC) = 2\cos(\alpha)\sin(\angle BDC)$
Перенесем слагаемое $\cos(\alpha)\sin(\angle BDC)$ в правую часть:
$\sin(\alpha)\cos(\angle BDC) = \cos(\alpha)\sin(\angle BDC)$

8. Если $\cos(\alpha) \neq 0$ и $\cos(\angle BDC) \neq 0$, разделим обе части равенства на $\cos(\alpha)\cos(\angle BDC)$:
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\angle BDC)}{\cos(\angle BDC)}$
$\tan(\alpha) = \tan(\angle BDC)$
Так как $\alpha$ и $\angle BDC$ — углы в треугольнике, из равенства тангенсов следует равенство самих углов:
$\angle BDC = \alpha$.

9. Теперь рассмотрим $\triangle BCD$. Мы установили, что $\angle CBD = \alpha$ и $\angle BDC = \alpha$.
Поскольку два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны:
$CD = BC$.

10. По условию $BC = 5$ см, следовательно, $CD = 5$ см.

Ответ: 5 см.