Номер 9.27, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.27. Точки $H$ и $O$ — соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника $ABC$. Пусть точка $M$ — середина дуги $ACB$. Докажите, что если $\angle C = 120^\circ$, то $MH = MO$.

9.27. Точки $H$ и $O$ — соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника $ABC$. Пусть точка $M$ — середина дуги $ACB$. Докажите, что если $\angle C = 120^\circ$, то $MH = MO$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в точку $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда вершины треугольника $A, B, C$ и точка $M$ будут лежать на окружности радиуса $R$, и их положение можно описать радиус-векторами $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OM}$. Длины этих векторов равны радиусу $R$: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OM}| = R$.

Известно, что радиус-вектор ортоцентра $H$ треугольника $ABC$ выражается через радиус-векторы его вершин формулой Сильвестра:

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Рассмотрим условие, что угол $\angle C = 120^\circ$. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Так как угол тупой, он опирается на большую дугу $AB$. Величина этой дуги равна $2 \cdot 120^\circ = 240^\circ$. Соответственно, меньшая дуга $AB$ имеет величину $360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на меньшую дугу $AB$, равен ее величине, то есть $\angle AOB = 120^\circ$.

Точка $M$ — середина дуги $ACB$. Поскольку $\angle C = 120^\circ$, вершина $C$ лежит на большей дуге $AB$. В задачах по геометрии обозначение "дуга ACB" обычно указывает на дугу, на которой лежит точка $C$. Однако, если предположить, что $M$ — середина большей дуги, то, как показывает анализ, утверждение $MH=MO$ будет верным только для равнобедренного треугольника ($AC=BC$). Так как в условии это не оговорено, будем считать, что имеется в виду стандартная для таких задач постановка, где $M$ — середина дуги $AB$, не содержащей точку $C$ (то есть, $M$ — середина меньшей дуги $AB$).

Поскольку $M$ — середина меньшей дуги $AB$, вектор $\vec{OM}$ направлен по биссектрисе угла $\angle AOB$. Найдем сумму векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Вектор-сумма $\vec{OA} + \vec{OB}$ также направлен по биссектрисе угла $\angle AOB$. Найдем его длину:

$|\vec{OA} + \vec{OB}|^2 = (\vec{OA} + \vec{OB}) \cdot (\vec{OA} + \vec{OB}) = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$|\vec{OA} + \vec{OB}|^2 = R^2 + R^2 + 2|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos(\angle AOB) = 2R^2 + 2R^2\cos(120^\circ)$

$|\vec{OA} + \vec{OB}|^2 = 2R^2 + 2R^2(-\frac{1}{2}) = 2R^2 - R^2 = R^2$

Отсюда $|\vec{OA} + \vec{OB}| = R$.

Так как вектор $\vec{OM}$ и вектор $\vec{OA} + \vec{OB}$ сонаправлены и имеют одинаковую длину $R$, то эти векторы равны:

$\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB}$

Теперь подставим это выражение в формулу для радиус-вектора ортоцентра:

$\vec{OH} = (\vec{OA} + \vec{OB}) + \vec{OC} = \vec{OM} + \vec{OC}$

Мы получили векторное равенство $\vec{OH} = \vec{OM} + \vec{OC}$. Это равенство можно переписать в виде:

$\vec{OH} - \vec{OM} = \vec{OC}$

В левой части стоит вектор $\vec{MH}$. Таким образом, $\vec{MH} = \vec{OC}$.

Из равенства векторов следует равенство их длин:

$|\vec{MH}| = |\vec{OC}|$

Поскольку $C$ лежит на описанной окружности с центром $O$, то $|\vec{OC}| = R$. Следовательно, $MH = R$.

Точка $M$ также лежит на описанной окружности, поэтому расстояние от нее до центра $O$ равно радиусу: $MO = R$.

Сравнивая полученные результаты, имеем $MH = R$ и $MO = R$. Отсюда следует, что $MH = MO$.

Доказательство:

Пусть $O$ — центр описанной окружности, принятый за начало координат. Тогда радиус-вектор ортоцентра $H$ задается формулой $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Поскольку $\angle C = 120^\circ$, центральный угол $\angle AOB$, стягивающий дугу $AB$, не содержащую $C$, равен $2(180^\circ - 120^\circ) = 120^\circ$.

Точка $M$ — середина дуги $ACB$. Будем считать, что имеется в виду дуга $AB$, не содержащая $C$. Тогда вектор $\vec{OM}$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, и его длина равна радиусу $R$.

Рассмотрим вектор $\vec{S} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Его длина равна $|\vec{S}| = \sqrt{R^2+R^2+2R^2\cos(120^\circ)} = \sqrt{2R^2-R^2} = R$. Направление вектора $\vec{S}$ совпадает с направлением $\vec{OM}$. Таким образом, $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB}$.

Подставим это в формулу для ортоцентра: $\vec{OH} = (\vec{OA} + \vec{OB}) + \vec{OC} = \vec{OM} + \vec{OC}$.

Из этого равенства следует, что $\vec{OH} - \vec{OM} = \vec{OC}$, то есть $\vec{MH} = \vec{OC}$.

Отсюда длины векторов равны: $MH = OC = R$.

Так как $M$ — точка на описанной окружности, $MO = R$.

Следовательно, $MH = MO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.