Номер 9.23, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.23. В треугольнике ABC $\angle C = 10^\circ$, $\angle B = 20^\circ$. Вне треугольника отметили точку M так, что треугольник CMB равносторонний, точки M и A лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC. Найдите углы MAB и MAC.

9.23. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 10^\circ$, $\angle B = 20^\circ$. Вне треугольника отметили точку $M$ так, что треугольник $CMB$ равносторонний, точки $M$ и $A$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $BC$. Найдите углы $MAB$ и $MAC$.

Для решения задачи сначала найдем все известные углы, исходя из данных условия.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^{\circ}$, поэтому угол $\angle BAC$ равен:

$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 10^{\circ} = 150^{\circ}$.

Треугольник $CMB$ является равносторонним, значит все его углы равны $60^{\circ}$ и все стороны равны: $CM = MB = BC$.

$\angle MCB = \angle CMB = \angle MBC = 60^{\circ}$.

Точки $M$ и $A$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $BC$. Это позволяет нам найти углы $\angle ACM$ и $\angle ABM$ путем сложения:

$\angle ACM = \angle ACB + \angle BCM = 10^{\circ} + 60^{\circ} = 70^{\circ}$.

$\angle ABM = \angle ABC + \angle CBM = 20^{\circ} + 60^{\circ} = 80^{\circ}$.

MAC

Чтобы найти угол $\angle MAC$, рассмотрим треугольник $ACM$. Мы знаем в нем сторону $CM$ (равную $BC$) и угол $\angle ACM = 70^{\circ}$. Найдем соотношение между сторонами $AC$ и $CM$. Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$\frac{AC}{\sin(20^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(150^{\circ})}$

Так как $\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = 1/2$, а $BC = CM$, то:

$AC = \frac{CM \cdot \sin(20^{\circ})}{1/2} = 2 \cdot CM \cdot \sin(20^{\circ})$.

Теперь, используя теорему косинусов в треугольнике $ACM$, найдем длину стороны $AM$:

$AM^2 = AC^2 + CM^2 - 2 \cdot AC \cdot CM \cdot \cos(\angle ACM)$

$AM^2 = (2 \cdot CM \cdot \sin(20^{\circ}))^2 + CM^2 - 2 \cdot (2 \cdot CM \cdot \sin(20^{\circ})) \cdot CM \cdot \cos(70^{\circ})$

Воспользуемся формулой приведения $\cos(70^{\circ}) = \sin(90^{\circ}-20^{\circ}) = \sin(20^{\circ})$:

$AM^2 = 4 CM^2 \sin^2(20^{\circ}) + CM^2 - 4 CM^2 \sin(20^{\circ}) \sin(20^{\circ})$

$AM^2 = 4 CM^2 \sin^2(20^{\circ}) + CM^2 - 4 CM^2 \sin^2(20^{\circ})$

$AM^2 = CM^2$, следовательно, $AM = CM$.

Поскольку в треугольнике $ACM$ стороны $AM$ и $CM$ равны, он является равнобедренным. Углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle MAC = \angle ACM$.

Таким образом, $\angle MAC = 70^{\circ}$.

MAB

Угол $\angle BAC$ является суммой углов $\angle MAB$ и $\angle MAC$:

$\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC$

Отсюда можем выразить искомый угол $\angle MAB$:

$\angle MAB = \angle BAC - \angle MAC = 150^{\circ} - 70^{\circ} = 80^{\circ}$.

Для проверки можно убедиться, что треугольник $ABM$ также равнобедренный ($AM = CM = BC = MB$), а значит углы при основании $AB$ равны. $\angle MAB = 80^{\circ}$ и $\angle ABM = 80^{\circ}$, что подтверждает верность расчетов.

Ответ: $\angle MAB = 80^{\circ}$, $\angle MAC = 70^{\circ}$.