Номер 9.17, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.17. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) на боковой стороне $AB$ отметили точку $D$. Около треугольника $ADC$ описана окружность. Касательная, проведённая к этой окружности в точке $D$, пересекает описанную окружность треугольника $BDC$ в точке $M$. Докажите, что $BM \parallel AC$.

9.17. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) на боковой стороне $AB$ отметили точку $D$. Около треугольника $ADC$ описана окружность. Касательная, проведённая к этой окружности в точке $D$, пересекает описанную окружность треугольника $BDC$ в точке $M$. Докажите, что $BM \parallel AC$.

Обозначим окружность, описанную около треугольника $ADC$, как $\omega_1$, а окружность, описанную около треугольника $BDC$, как $\omega_2$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC$, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

Прямая, проходящая через точки $D$ и $M$, по условию является касательной к окружности $\omega_1$ в точке $D$. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Для касательной $DM$ и хорды $DC$ это означает, что угол $\angle MDC$ равен вписанному углу $\angle DAC$. Таким образом, получаем равенство:$\angle MDC = \angle DAC$.

Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, то угол $\angle DAC$ совпадает с углом $\angle BAC$. Следовательно, $\angle MDC = \angle BAC = \alpha$.

Точки $B$, $D$, $C$ и $M$ по условию лежат на одной окружности $\omega_2$. Это означает, что четырехугольник $BDCM$ является вписанным в окружность. В вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CBM$ и $\angle CDM$ опираются на одну и ту же дугу $CM$.

Следовательно, $\angle CBM = \angle CDM$.

Объединяя полученные равенства, имеем:$\angle CBM = \angle CDM = \angle MDC = \alpha$.

Итак, мы установили, что $\angle CBM = \alpha$ и $\angle BCA = \alpha$. Таким образом, $\angle CBM = \angle BCA$.

Углы $\angle CBM$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при прямых $BM$ и $AC$ и секущей $BC$. Так как эти накрест лежащие углы равны, то, по признаку параллельности прямых, прямые $BM$ и $AC$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.