Номер 9.15, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.15. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$, вписанного в окружность, параллельна хорде, соединяющей середины дуг $AB$ и $AC$.

9.15. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$, вписанного в окружность, параллельна хорде, соединяющей середины дуг $AB$ и $AC$.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Обозначим биссектрису внешнего угла при вершине $A$ как прямую $l$. Пусть $M$ — середина дуги $AB$, а $N$ — середина дуги $AC$ (имеются в виду дуги, не содержащие других вершин треугольника). Требуется доказать, что прямая $l$ параллельна хорде $MN$.

Для доказательства воспользуемся свойством биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника, а также свойствами дуг и хорд в окружности.

1. Рассмотрим биссектрису внутреннего угла $\angle BAC$. Обозначим ее $l_{int}$. Внутренний и внешний углы при одной вершине треугольника являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Биссектрисы смежных углов всегда взаимно перпендикулярны. Следовательно, $l \perp l_{int}$.

2. По известной теореме, биссектриса вписанного угла делит дугу, стягиваемую противоположной стороной, пополам. Пусть биссектриса $l_{int}$ угла $\angle BAC$ пересекает описанную окружность в точке $P$. Тогда точка $P$ является серединой дуги $BC$ (не содержащей точку $A$). Таким образом, прямая, содержащая биссектрису $l_{int}$, — это прямая $AP$. Из пункта 1 следует, что $l \perp AP$.

3. Теперь, чтобы доказать, что $l \parallel MN$, нам достаточно показать, что хорда $MN$ также перпендикулярна прямой $AP$, то есть $MN \perp AP$.

4. Угол между двумя пересекающимися хордами в окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между ними. Хорды $MN$ и $AP$ пересекаются внутри окружности. Они высекают две пары вертикальных углов, которые опираются на дуги $AN$ и $MP$, а также на дуги $AM$ и $NP$. Угол между хордами $MN$ и $AP$ равен $\frac{1}{2}(\cup AN + \cup MP)$.

Вычислим сумму градусных мер дуг $AN$ и $MP$.

• По условию, $N$ — середина дуги $AC$, следовательно, $\cup AN = \frac{1}{2} \cup AC$.
• По условию, $M$ — середина дуги $AB$, следовательно, $\cup AM = \cup MB = \frac{1}{2} \cup AB$.
• Как было показано в п. 2, $P$ — середина дуги $BC$, следовательно, $\cup BP = \frac{1}{2} \cup BC$.

Дуга $MP$ состоит из двух дуг: $MB$ и $BP$. Ее градусная мера равна сумме их градусных мер:

$\cup MP = \cup MB + \cup BP = \frac{1}{2} \cup AB + \frac{1}{2} \cup BC$.

Теперь найдем сумму дуг $AN$ и $MP$:

$\cup AN + \cup MP = \frac{1}{2} \cup AC + \left(\frac{1}{2} \cup AB + \frac{1}{2} \cup BC\right) = \frac{1}{2}(\cup AC + \cup AB + \cup BC)$.

Сумма дуг $\cup AC$, $\cup AB$ и $\cup BC$ составляет всю окружность, то есть $360^\circ$. Таким образом:

$\cup AN + \cup MP = \frac{1}{2}(360^\circ) = 180^\circ$.

Угол между хордами $MN$ и $AP$ равен:

$\frac{1}{2}(\cup AN + \cup MP) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Это означает, что хорды $MN$ и $AP$ перпендикулярны: $MN \perp AP$.

5. Мы получили, что биссектриса внешнего угла $l$ перпендикулярна прямой $AP$, и хорда $MN$ также перпендикулярна прямой $AP$. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, $l \parallel MN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.