Номер 9.9, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.9. К окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведена в точке $B$ касательная, пересекающая прямую $AC$ в точке $D$. Отрезок $BM$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $BD = MD$.

9.9. К окружности, описанной около треугольника $ABC$, проведена в точке $B$ касательная, пересекающая прямую $AC$ в точке $D$. Отрезок $BM$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $BD=MD$.

Для доказательства равенства $BD = MD$ покажем, что треугольник $BMD$ является равнобедренным, а именно, что углы при его основании $BM$ равны: $\angle MBD = \angle BMD$.

1. Выразим угол $\angle MBD$. Он является суммой двух углов: $\angle MBD = \angle MBC + \angle CBD$.

2. По условию, $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$, следовательно, $\angle ABM = \angle MBC$.

3. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $BD$ (проведенной в точке $B$) и хордой $BC$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$. Этим углом является $\angle BAC$. Таким образом, $\angle CBD = \angle BAC$.

4. Объединив равенства из пунктов 1, 2 и 3, получим выражение для угла $\angle MBD$:
$\angle MBD = \angle MBC + \angle CBD = \angle ABM + \angle BAC$.

5. Теперь выразим угол $\angle BMD$. Этот угол является внешним для треугольника $ABM$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BMD = \angle BAM + \angle ABM$.

6. Угол $\angle BAM$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$. Следовательно, $\angle BMD = \angle BAC + \angle ABM$.

7. Сравнивая выражения для углов, полученные в пунктах 4 и 6, видим, что они равны:
$\angle MBD = \angle ABM + \angle BAC$
$\angle BMD = \angle BAC + \angle ABM$
Отсюда следует, что $\angle MBD = \angle BMD$.

Поскольку в треугольнике $BMD$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $BM$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $BD = MD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.