Номер 9.4, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.4. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M (рис. 9.11), $ \cup AC = 100^\circ $, $ \cup BD = 30^\circ $. Найдите $ \angle AMC $.

Рис. 9.11

9.4. Хорды $AB$ и $CD$ окружности не пересекаются, а прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ (рис. 9.11), $\frown AC = 100^\circ$, $\frown BD = 30^\circ$. Найдите угол $AMC$.

Рис. 9.11

Для нахождения угла $ \angle AMC $, образованного двумя секущими, пересекающимися вне окружности, можно воспользоваться теоремой об угле между двумя секущими. Эта теорема гласит, что угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключённых между его сторонами. Докажем эту теорему и решим задачу.

1. Выполним дополнительное построение: проведем хорду $ AD $.

2. Рассмотрим треугольник $ \triangle ADM $. Угол $ \angle CDA $ является внешним углом для этого треугольника при вершине $ D $. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$ \angle CDA = \angle DAM + \angle AMD $

3. Из этого равенства выразим искомый угол $ \angle AMD $ (который является тем же углом, что и $ \angle AMC $):

$ \angle AMD = \angle CDA - \angle DAM $

4. Углы $ \angle CDA $ и $ \angle DAM $ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

- Угол $ \angle CDA $ опирается на дугу $ AC $. Следовательно, его величина равна:
$ \angle CDA = \frac{1}{2} \cup AC $

- Угол $ \angle DAM $ (или $ \angle DAB $) опирается на дугу $ BD $. Следовательно, его величина равна:
$ \angle DAM = \frac{1}{2} \cup BD $

5. Подставим выражения для вписанных углов в формулу для $ \angle AMD $:

$ \angle AMC = \frac{1}{2} \cup AC - \frac{1}{2} \cup BD = \frac{1}{2} (\cup AC - \cup BD) $

6. Теперь, используя данные из условия задачи ($ \cup AC = 100^\circ $ и $ \cup BD = 30^\circ $), вычислим значение угла $ \angle AMC $:

$ \angle AMC = \frac{1}{2} (100^\circ - 30^\circ) = \frac{1}{2} (70^\circ) = 35^\circ $

Ответ: $ 35^\circ $