Номер 9.1, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.1. Концы хорды делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 1. Через один из концов хорды проведена касательная к данной окружности. Найдите острый угол между этой касательной и данной хордой.

9.1. Концы хорды делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 1. Через один из концов хорды проведена касательная к данной окружности. Найдите острый угол между этой касательной и данной хордой.

По условию задачи, хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3:1.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Пусть градусная мера меньшей дуги равна $x$, тогда градусная мера большей дуги равна $3x$. Сумма этих дуг составляет всю окружность:

$x + 3x = 360^\circ$

$4x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Таким образом, градусная мера меньшей дуги равна $90^\circ$, а большей — $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$.

Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла.

Касательная и хорда образуют два смежных угла. Острый угол будет равен половине меньшей дуги, а тупой — половине большей. Нам необходимо найти острый угол. Обозначим его $\alpha$.

$\alpha = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$

Ответ: 45°.