Номер 8.54, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.54. Многоугольник, все вершины которого принадлежат одной окружности, разделён непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди указанных треугольников только один может быть остроугольным.

8.54. Многоугольник, все вершины которого принадлежат одной окружности, разделён непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди указанных треугольников только один может быть остроугольным.

Пусть данный многоугольник вписан в окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Этот многоугольник разделен непересекающимися диагоналями на множество треугольников $T_1, T_2, \dots, T_k$.

Рассмотрим любой треугольник $T_i$ из этой триангуляции. Все его три вершины являются вершинами исходного многоугольника, а значит, лежат на окружности $\omega$. Следовательно, окружность $\omega$ является описанной окружностью для каждого треугольника $T_i$, а точка $O$ — единый для всех них центр описанной окружности.

Ключевым для решения является свойство, связывающее тип треугольника с положением центра его описанной окружности:
1. Треугольник является остроугольным тогда и только тогда, когда центр его описанной окружности лежит внутри треугольника.
2. Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда центр его описанной окружности лежит на одной из его сторон.
3. Треугольник является тупоугольным тогда и только тогда, когда центр его описанной окружности лежит вне треугольника.

Применяя это свойство к нашей задаче, получаем, что треугольник $T_i$ является остроугольным тогда и только тогда, когда точка $O$ лежит внутри этого треугольника.

Треугольники $T_1, T_2, \dots, T_k$ образуют триангуляцию многоугольника. Это означает, что их внутренности не пересекаются, а их объединение совпадает с многоугольником. Так как внутренности треугольников попарно не пересекаются, точка $O$ может принадлежать внутренней области не более чем одного из этих треугольников.

Следовательно, не более одного треугольника в триангуляции может быть остроугольным. Если точка $O$ лежит внутри одного из треугольников, то он будет остроугольным, а все остальные — тупоугольными или прямоугольными. Если точка $O$ лежит на границе между треугольниками или вне многоугольника, то остроугольных треугольников не будет совсем. Таким образом, количество остроугольных треугольников может быть либо ноль, либо один.

Ответ: Утверждение доказано.