Номер 8.51, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.51. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, проведённые из вершин $B$ и $C$, пересекают описанную окружность в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если прямая $B_1C_1$ проходит через центр описанной окружности.

8.51. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, проведённые из вершин $B$ и $C$, пересекают описанную окружность в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если прямая $B_1C_1$ проходит через центр описанной окружности.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Обозначим через $\omega$ его описанную окружность, а через $O$ — её центр. Пусть $BB'$ и $CC'$ — высоты, проведённые из вершин $B$ и $C$ к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. По условию, прямые, содержащие эти высоты, пересекают окружность $\omega$ в точках $B_1$ и $C_1$. Это означает, что точки $B, B', B_1$ лежат на одной прямой, и точки $C, C', C_1$ лежат на одной прямой.

Главное условие задачи состоит в том, что прямая $B_1C_1$ проходит через центр описанной окружности $O$. Это означает, что отрезок $B_1C_1$ является диаметром окружности $\omega$. Диаметр делит окружность на две дуги по $180^\circ$.

Выразим градусные меры дуг, на которые окружность делится точками $A, B, C, B_1, C_1$, через углы треугольника $\triangle ABC$. Будем обозначать углы треугольника как $\angle A, \angle B, \angle C$.

Рассмотрим дугу, соединяющую точки $B_1$ и $C_1$ и проходящую через точки $B$ и $C$. Обозначим её $\cup C_1BCB_1$. Её можно представить в виде суммы трёх дуг: $\cup C_1BCB_1 = \cup C_1B + \cup BC + \cup CB_1$.

1. Градусная мера дуги $\cup BC$ равна удвоенному вписанному углу $\angle BAC$, опирающемуся на неё. Таким образом, $\cup BC = 2\angle A$.

2. Градусная мера дуги $\cup C_1B$ равна удвоенному вписанному углу $\angle BCC_1$. Прямая $CC_1$ содержит высоту $CC'$, перпендикулярную $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle C'BC$ ($\angle BC'C = 90^\circ$), угол при вершине $B$ равен $\angle B$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BCC' = 180^\circ - 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \angle B$. Поскольку точки $C, C', C_1$ лежат на одной прямой, $\angle BCC_1 = \angle BCC'$. Таким образом, $\cup C_1B = 2 \cdot \angle BCC_1 = 2(90^\circ - \angle B) = 180^\circ - 2\angle B$.

3. Аналогично, градусная мера дуги $\cup CB_1$ равна удвоенному вписанному углу $\angle CBB_1$. Прямая $BB_1$ содержит высоту $BB'$, перпендикулярную $AC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle B'BC$ ($\angle BB'C = 90^\circ$), угол при вершине $C$ равен $\angle C$. Следовательно, $\angle CBB' = 180^\circ - 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle C$. Поскольку точки $B, B', B_1$ лежат на одной прямой, $\angle CBB_1 = \angle CBB'$. Таким образом, $\cup CB_1 = 2 \cdot \angle CBB_1 = 2(90^\circ - \angle C) = 180^\circ - 2\angle C$.

Теперь найдём суммарную градусную меру дуги $\cup C_1BCB_1$:
$\cup C_1BCB_1 = \cup C_1B + \cup BC + \cup CB_1 = (180^\circ - 2\angle B) + 2\angle A + (180^\circ - 2\angle C)$
$\cup C_1BCB_1 = 360^\circ + 2\angle A - 2(\angle B + \angle C)$

Известно, что сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$. Подставим это в выражение для дуги:

$\cup C_1BCB_1 = 360^\circ + 2\angle A - 2(180^\circ - \angle A) = 360^\circ + 2\angle A - 360^\circ + 2\angle A = 4\angle A$.

Так как $B_1C_1$ — диаметр, то градусная мера дуги $\cup C_1BCB_1$ равна $180^\circ$. Приравняем полученное выражение к $180^\circ$:

$4\angle A = 180^\circ$

$\angle A = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Для полноты решения можно рассмотреть и вторую дугу, соединяющую $C_1$ и $B_1$, а именно $\cup C_1AB_1$. Её мера также должна быть равна $180^\circ$.$\cup C_1AB_1 = \cup C_1A + \cup AB_1$.Вписанный угол $\angle ACC_1$ опирается на дугу $\cup AC_1$. В прямоугольном $\triangle AC'C$, $\angle ACC' = 90^\circ - \angle A$. Значит, $\cup AC_1 = 2(90^\circ - \angle A) = 180^\circ - 2\angle A$.Вписанный угол $\angle ABB_1$ опирается на дугу $\cup AB_1$. В прямоугольном $\triangle AB'B$, $\angle ABB' = 90^\circ - \angle A$. Значит, $\cup AB_1 = 2(90^\circ - \angle A) = 180^\circ - 2\angle A$.Тогда $\cup C_1AB_1 = (180^\circ - 2\angle A) + (180^\circ - 2\angle A) = 360^\circ - 4\angle A$.Приравнивая к $180^\circ$:$360^\circ - 4\angle A = 180^\circ \implies 4\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 45^\circ$.Оба подхода дают одинаковый результат.

Ответ: $45^\circ$