Номер 8.45, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.45. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведённой к данной стороне.

8.45. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведённой к данной стороне.

Пусть нам даны три отрезка, задающие сторону $a$, высоту $h_a$, и угол $\alpha$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, высота $AH$, опущенная на прямую $BC$, равна $h_a$, а угол $\angle BAC$, противолежащий стороне $BC$, равен $\alpha$.

Анализ
Решение задачи основано на методе геометрических мест точек (ГМТ). Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:
1. Она должна находиться на расстоянии $h_a$ от прямой, содержащей сторону $BC$. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, параллельные прямой $BC$ и расположенные на расстоянии $h_a$ от нее.
2. Из вершины $A$ отрезок $BC$ должен быть виден под углом $\alpha$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, является дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.
Следовательно, искомая вершина $A$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест: прямой, параллельной $BC$, и дуги окружности, построенной на хорде $BC$.

Построение
Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующем порядке:
1. На произвольной прямой $l$ откладываем отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
2. Строим прямую $m$, параллельную прямой $l$ и отстоящую от нее на расстояние, равное данной высоте $h_a$. Для этого в любой точке прямой $l$ (например, в точке $B$) восстанавливаем перпендикуляр, откладываем на нем отрезок $BD$ длиной $h_a$ и через точку $D$ проводим прямую $m \parallel l$. Вершина $A$ будет лежать на этой прямой $m$.
3. Строим ГМТ, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Это дуга окружности, которая строится следующим образом:
а) В точке $B$ на луче $BC$ строим угол $\angle CBK$, равный данному углу $\alpha$. Луч $BK$ должен лежать в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и прямая $m$.
б) Через точку $B$ проводим прямую $p$, перпендикулярную лучу $BK$.
в) Строим серединный перпендикуляр $q$ к отрезку $BC$.
г) Находим точку $O$ — точку пересечения прямых $p$ и $q$. Эта точка является центром искомой окружности.
д) Проводим дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OB$ (или $OC$).
4. Находим точку (или точки) пересечения прямой $m$ и построенной дуги. Обозначаем одну из них как $A$. Если пересечения нет, задача не имеет решения.
5. Соединяем точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство
В построенном треугольнике $ABC$:
- Сторона $BC$ по построению равна $a$.
- Высота из вершины $A$ на прямую $BC$ равна расстоянию от точки $A$ до прямой $l$, которое по построению равно $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $m$.
- Угол $\angle BAC$ является вписанным углом, опирающимся на хорду $BC$. По свойству угла между касательной ($BK$) и хордой ($BC$), он равен углу $\angle CBK$, который по построению равен $\alpha$.
Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование
Задача может иметь разное количество решений в зависимости от соотношения между $a$, $h_a$ и $\alpha$.
- Если прямая $m$ не пересекает дугу окружности (то есть данная высота $h_a$ больше, чем максимальное расстояние от точек дуги до хорды $BC$), то задача не имеет решений.
- Если прямая $m$ касается дуги в одной точке (это произойдет, если $h_a$ равно максимальной высоте сегмента), то задача имеет одно решение. Полученный треугольник будет равнобедренным ($AB=AC$).
- Если прямая $m$ пересекает дугу в двух точках $A_1$ и $A_2$, то мы получаем два треугольника: $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. Эти треугольники симметричны относительно серединного перпендикуляра к стороне $BC$, а значит, они равны. В этом случае принято считать, что задача имеет одно решение (с точностью до равенства треугольников).
Задача имеет решение, если выполняется условие $h_a \le \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: Построение треугольника осуществляется нахождением третьей вершины как точки пересечения двух геометрических мест: прямой, параллельной данной стороне на расстоянии данной высоты, и дуги окружности, из каждой точки которой данная сторона видна под данным углом. Алгоритм построения и анализ числа решений приведены выше.