Номер 8.40, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.40. Постройте треугольник $ABC$ по точке $A$, центру описанной окружности и точке пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$.

8.40. Постройте треугольник $ABC$ по точке $A$, центру описанной окружности и точке пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$.

Для построения искомого треугольника $ABC$ необходимо провести анализ, на основе которого будет составлен план построения. Обозначим данные точки: $A$ — вершина треугольника, $O$ — центр описанной окружности, $L$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$.

Описанная окружность $\omega$ искомого треугольника $ABC$ имеет центр в точке $O$ и проходит через данную вершину $A$. Следовательно, мы можем сразу определить радиус этой окружности как расстояние $R = OA$ и построить саму окружность. Вершины $B$ и $C$ также должны лежать на этой окружности.

Биссектриса угла $A$ проходит через точки $A$ и $L$. Пусть $M$ — точка пересечения этой биссектрисы с описанной окружностью $\omega$, отличная от $A$. Точка $M$ лежит на прямой $AL$.

Ключевым свойством для решения задачи является то, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной окружностью делит пополам дугу, стягиваемую стороной, противоположной этому углу. В нашем случае, точка $M$ делит дугу $BC$ (не содержащую точку $A$) пополам. То есть, дуга $BM$ равна дуге $CM$.

Из равенства дуг следует равенство стягивающих их хорд: $MB = MC$. Это означает, что точка $M$ равноудалена от вершин $B$ и $C$. Центр описанной окружности $O$ также равноудален от вершин $B$ и $C$ (поскольку $OB = OC = R$). Следовательно, обе точки, $O$ и $M$, лежат на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

Таким образом, прямая $OM$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Отсюда следует, что сторона $BC$ лежит на прямой, перпендикулярной прямой $OM$. Так как точка $L$ по условию лежит на стороне $BC$, то мы можем построить прямую, содержащую сторону $BC$: это прямая, проходящая через точку $L$ и перпендикулярная прямой $OM$.Вершины $B$ и $C$ являются точками пересечения этой построенной прямой с описанной окружностью $\omega$.

Ответ: План построения основан на нахождении точки $M$ (пересечение прямой $AL$ с описанной окружностью) и использовании того факта, что прямая $OM$ перпендикулярна искомой стороне $BC$, которая проходит через точку $L$.

На основе проведенного анализа выполним следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки:

1. Построить окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $L$.
3. Обозначить через $M$ точку пересечения прямой $AL$ с окружностью $\omega$, отличную от $A$.
4. Провести прямую через точки $O$ и $M$.
5. Построить прямую $l$, проходящую через точку $L$ перпендикулярно прямой $OM$.
6. Найти точки $B$ и $C$ как точки пересечения прямой $l$ с окружностью $\omega$.
7. Соединить отрезками точки $A$, $B$ и $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанным алгоритмом из 7 шагов.

Необходимо доказать, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Вершина $A$ является данной точкой по построению.
• Точки $A, B, C$ лежат на окружности $\omega$ с центром в $O$. Следовательно, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
• По построению прямая $BC$ (прямая $l$) перпендикулярна прямой $OM$. Поскольку прямая $OM$ проходит через центр окружности $O$, она является осью симметрии для перпендикулярной ей хорды $BC$. Это означает, что прямая $OM$ — серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Следовательно, точка $M$, лежащая на этой прямой, равноудалена от $B$ и $C$, то есть $MB = MC$.
• В окружности $\omega$ равные хорды ($MB$ и $MC$) стягивают равные дуги. Значит, дуга $BM$ равна дуге $CM$.
• Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Угол $\angle BAM$ опирается на дугу $BM$, а угол $\angle CAM$ — на дугу $CM$. Следовательно, $\angle BAM = \angle CAM$.
• Это означает, что прямая $AM$ (которая совпадает с прямой $AL$) является биссектрисой угла $\angle BAC$.
• По построению, точка $L$ лежит как на биссектрисе $AM$, так и на стороне $BC$. Таким образом, $L$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как доказано, что он удовлетворяет всем заданным условиям.