Номер 8.33, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.33. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Постройте по этим точкам треугольник $ABC$.

8.33. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Постройте по этим точкам треугольник $ABC$.

Анализ:

Пусть $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $AA'$, $BB'$, $CC'$ — его высоты, где $A'$, $B'$, $C'$ — основания высот на сторонах $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. По условию, прямые, содержащие высоты, пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Рассмотрим известное свойство ортоцентра: точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности. Докажем это.

Пусть прямая $AH$ пересекает сторону $BC$ в точке $A'$ и описанную окружность в точке $A_1$. Мы хотим доказать, что $HA' = A'A_1$.

Поскольку $BB'$ — высота, то $\angle H B C = \angle B' B C = 90^\circ - \angle C$. С другой стороны, углы $\angle A_1 B C$ и $\angle A_1 A C$ опираются на одну и ту же дугу $A_1C$, следовательно, они равны. В прямоугольном треугольнике $AA'C$ угол $\angle A_1 A C = \angle A' A C = 90^\circ - \angle C$. Таким образом, $\angle H B C = \angle A_1 B C$.

Рассмотрим треугольник $HBA_1$. Отрезок $BA'$ является его высотой, так как $AA_1 \perp BC$. Мы также показали, что $BA'$ является биссектрисой угла $\angle HBA_1$. Следовательно, треугольник $HBA_1$ — равнобедренный, а $BA'$ — его медиана. Это означает, что $HA' = A'A_1$.

Итак, точка $A_1$ симметрична ортоцентру $H$ относительно стороны $BC$. Аналогично, точка $B_1$ симметрична $H$ относительно $AC$, а точка $C_1$ симметрична $H$ относительно $AB$.

Из этого следует, что стороны искомого треугольника $ABC$ являются серединными перпендикулярами к отрезкам $HA_1$, $HB_1$ и $HC_1$. Таким образом, если мы найдем положение ортоцентра $H$, мы сможем построить треугольник $ABC$.

Теперь найдем способ определить положение точки $H$. Рассмотрим ортотреугольник $A'B'C'$ (треугольник, образованный основаниями высот). Известно, что высоты треугольника $ABC$ являются биссектрисами углов его ортотреугольника.

Также известно, что треугольник $A_1B_1C_1$ является образом ортотреугольника $A'B'C'$ при гомотетии с центром в ортоцентре $H$ и коэффициентом 2. Это следует из того, что $HA' = A'A_1$, $HB' = B'B_1$, $HC' = C'C_1$, то есть $\vec{HA_1} = 2\vec{HA'}$, $\vec{HB_1} = 2\vec{HB'}$, $\vec{HC_1} = 2\vec{HC'}$.

Поскольку гомотетия сохраняет углы и параллельность, то биссектрисы углов треугольника $A'B'C'$ также являются биссектрисами углов треугольника $A_1B_1C_1$.

Таким образом, прямые $HA_1, HB_1, HC_1$, содержащие высоты треугольника $ABC$, являются биссектрисами углов треугольника $A_1B_1C_1$. Точка их пересечения $H$ является центром вписанной (или вневписанной) окружности треугольника $A_1B_1C_1$. Так как исходный треугольник $ABC$ остроугольный, его ортоцентр $H$ лежит внутри него, а значит, $H$ является точкой пересечения именно внутренних биссектрис, то есть центром вписанной окружности (инцентром) треугольника $A_1B_1C_1$.

На основе этого анализа можно сформулировать алгоритм построения.

Построение:

1. Соединить данные точки $A_1, B_1, C_1$ отрезками, чтобы получить треугольник $A_1B_1C_1$.
2. Построить биссектрисы углов треугольника $A_1B_1C_1$.
3. Найти точку пересечения этих биссектрис. Эта точка является центром вписанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ и ортоцентром $H$ искомого треугольника $ABC$.
4. Соединить точку $H$ с точками $A_1, B_1, C_1$, получив отрезки $HA_1, HB_1, HC_1$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $HA_1$. Эта прямая является стороной $BC$ искомого треугольника.
6. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $HB_1$. Эта прямая является стороной $AC$ искомого треугольника.
7. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $HC_1$. Эта прямая является стороной $AB$ искомого треугольника.
8. Точки пересечения построенных прямых являются вершинами $A, B, C$ искомого треугольника. Вершина $A$ — это пересечение прямых $AB$ и $AC$; вершина $B$ — пересечение $AB$ и $BC$; вершина $C$ — пересечение $AC$ и $BC$.

Доказательство:

Пусть треугольник $ABC$ построен согласно приведенному выше алгоритму. Докажем, что он является искомым.

По построению, точка $H$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $A_1B_1C_1$.

Сторона $BC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $HA_1$. Это означает, что любая точка на прямой $BC$ равноудалена от $H$ и $A_1$. В частности, $BH=BA_1$ и $CH=CA_1$.

Аналогично, $AC$ — серединный перпендикуляр к $HB_1$, и $AB$ — серединный перпендикуляр к $HC_1$.

Рассмотрим вершину $A$. Она является точкой пересечения серединных перпендикуляров к $HB_1$ и $HC_1$. Следовательно, $AH = AB_1$ и $AH = AC_1$.

Теперь докажем, что $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Для этого нужно показать, что прямая $AH$ перпендикулярна $BC$, $BH$ перпендикулярна $AC$ и $CH$ перпендикулярна $AB$.

Вершины $A, B, C$ являются центрами окружностей, проходящих через точку $H$ и пары точек из $\{A_1, B_1, C_1\}$. Например, $A$ — центр окружности, проходящей через $H, B_1, C_1$. $B$ — центр окружности, проходящей через $H, A_1, C_1$. $C$ — центр окружности, проходящей через $H, A_1, B_1$.

Рассмотрим прямую $AC$ (серединный перпендикуляр к $HB_1$) и прямую $BC$ (серединный перпендикуляр к $HA_1$). Линия центров двух окружностей ($C$ и $O'$, где $O'$ - центр окружности $(HA_1)$) перпендикулярна их общей хорде. Здесь $H$ и $B_1$ лежат на окружности с центром $C$, а $H$ и $A_1$ лежат на окружности с центром $C$. Значит $CH$ - общая хорда. Нет, это неверный путь.

Вернемся к анализу. Мы установили, что если $H$ - ортоцентр, то $BC$ является серединным перпендикуляром к $HA_1$. Обратно, если мы построим $BC$ как серединный перпендикуляр к $HA_1$, $AC$ как серединный перпендикуляр к $HB_1$ и $AB$ как серединный перпендикуляр к $HC_1$, то $H$ по определению будет ортоцентром полученного треугольника $ABC$.

Анализ показал, что высоты треугольника $ABC$ должны быть биссектрисами треугольника $A_1B_1C_1$. Мы построили $H$ как точку пересечения биссектрис, а затем построили треугольник $ABC$ так, чтобы $H$ стал его ортоцентром, а $A_1, B_1, C_1$ — точками, симметричными $H$ относительно сторон. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится следующим образом: находится центр $H$ вписанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$. Затем строятся серединные перпендикуляры к отрезкам $HA_1$, $HB_1$ и $HC_1$. Эти перпендикуляры и образуют стороны $BC$, $AC$ и $AB$ искомого треугольника.