Номер 8.28, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.28. В окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Докажите, что прямая, содержащая медиану треугольника $DMB$, содержит также высоту треугольника $CMA$.

8.28. В окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Докажите, что прямая, содержащая медиану треугольника $DMB$, содержит также высоту треугольника $CMA$.

Пусть в окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Это означает, что $\triangle DMB$ и $\triangle CMA$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $M$.

Проведем медиану $MK$ в треугольнике $DMB$ из вершины прямого угла $M$ к гипотенузе $DB$. Прямая, содержащая эту медиану, пересекает отрезок $AC$ в некоторой точке $H$. Нам нужно доказать, что прямая $MK$ (то есть прямая $MH$) содержит высоту треугольника $CMA$, проведенную из вершины $M$. Для этого достаточно доказать, что $MH \perp AC$, или что $\angle MHC = 90^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $CMH$. Чтобы доказать, что $\angle MHC = 90^{\circ}$, мы покажем, что сумма двух других его углов, $\angle MCH$ и $\angle CMH$, равна $90^{\circ}$.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине гипотенузы. Таким образом, в $\triangle DMB$ имеем $MK = KD$. Это означает, что треугольник $MKD$ является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle KMD = \angle KDM$.

Углы $\angle CMH$ и $\angle KMD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $CD$ и $KH$. Следовательно, $\angle CMH = \angle KMD$. Из этого и предыдущего равенства следует, что $\angle CMH = \angle KDM$.

Угол $\angle KDM$ — это тот же угол, что и вписанный угол $\angle CDB$, который опирается на дугу $CB$. Вписанный угол $\angle CAB$ также опирается на дугу $CB$, поэтому $\angle CDB = \angle CAB$. Таким образом, мы установили равенство: $\angle CMH = \angle CAB$.

Теперь найдем сумму углов $\angle MCH + \angle CMH$. Используя установленное выше равенство, получаем: $\angle MCH + \angle CMH = \angle ACD + \angle CAB$.

Вписанный угол $\angle ACD$ измеряется половиной дуги $AD$, то есть $\angle ACD = \frac{1}{2} \smile AD$. Аналогично, вписанный угол $\angle CAB$ измеряется половиной дуги $CB$, то есть $\angle CAB = \frac{1}{2} \smile CB$. Следовательно, их сумма равна: $\angle ACD + \angle CAB = \frac{1}{2} \smile AD + \frac{1}{2} \smile CB = \frac{1}{2} (\smile AD + \smile CB)$.

По теореме о перпендикулярных хордах, сумма дуг, заключенных между их концами, равна $180^{\circ}$. В нашем случае $\smile AD + \smile CB = 180^{\circ}$. Подставив это значение в формулу для суммы углов, получаем: $\angle MCH + \angle CMH = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$.

Так как в треугольнике $CMH$ сумма углов $\angle MCH$ и $\angle CMH$ равна $90^{\circ}$, то его третий угол $\angle MHC$ равен $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Это означает, что прямая $MH$ перпендикулярна отрезку $AC$.

Поскольку прямая $MH$ проходит через вершину $M$ треугольника $CMA$ и перпендикулярна противоположной стороне $AC$, она содержит высоту этого треугольника. Так как $MH$ является продолжением медианы $MK$ треугольника $DMB$, мы доказали, что прямая, содержащая медиану треугольника $DMB$, содержит также высоту треугольника $CMA$.

Ответ: Утверждение доказано.