Номер 8.24, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.24. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, которая пересекает окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла $\angle CAD$ является постоянной для всех секущих, проходящих через точку B.

8.24. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $B$ проведена секущая, которая пересекает окружности в точках $C$ и $D$. Докажите, что величина угла $\angle CAD$ является постоянной для всех секущих, проходящих через точку $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$
Отсюда мы можем выразить искомый угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = 180^\circ - (\angle ACD + \angle ADC)$

Докажем, что величины углов $\angle ACD$ и $\angle ADC$ не зависят от выбора секущей.

Пусть первая окружность (проходящая через точки $A, B, C$) называется $\omega_1$, а вторая (проходящая через точки $A, B, D$) — $\omega_2$.

1. Рассмотрим угол $\angle ACD$. Так как точки $C, B, D$ лежат на одной прямой (секущей), то угол $\angle ACD$ совпадает с углом $\angle ACB$. Угол $\angle ACB$ является вписанным углом в окружность $\omega_1$ и опирается на хорду $AB$. По свойству вписанных углов, его величина зависит только от дуги $AB$ и не зависит от положения точки $C$ на этой дуге. Поскольку точки $A$ и $B$ (и сами окружности) фиксированы, то и величина дуги $AB$ в окружности $\omega_1$ постоянна. Следовательно, величина угла $\angle ACB$ (а значит и $\angle ACD$) является постоянной для всех секущих, при условии, что точка $C$ находится по одну сторону от прямой $AB$. Так как секущая всегда проходит через точку $B$, точки $C$ и $D$ всегда будут находиться по одну и ту же сторону от прямой $AB$. Таким образом, величина $\angle ACD$ — константа.

2. Аналогично рассмотрим угол $\angle ADC$. Он совпадает с углом $\angle ADB$. Угол $\angle ADB$ является вписанным углом в окружность $\omega_2$ и также опирается на хорду $AB$. Его величина зависит только от дуги $AB$ в окружности $\omega_2$ и, следовательно, также является постоянной величиной.

Таким образом, угол $\angle CAD$ равен $180^\circ$ минус сумма двух постоянных величин ($\angle ACD$ и $\angle ADC$). Следовательно, величина угла $\angle CAD$ сама является постоянной и не зависит от выбора секущей, проходящей через точку $B$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Величина угла $\angle CAD$ является постоянной, так как она дополняет до $180^\circ$ сумму двух углов: $\angle ACD$ и $\angle ADC$. Каждый из этих углов является вписанным в свою окружность и опирается на фиксированную хорду $AB$, а значит, их величины постоянны.