Номер 8.25, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.25. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$. Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $DO = DB = DC$.

8.25. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$. Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $DO = DB = DC$.

Доказательство требуемого равенства $DO = DB = DC$ можно провести в два этапа.

Сначала докажем, что $DB = DC$.
По условию, прямая $AD$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$. Это означает, что она делит угол на два равных: $\angle BAD = \angle CAD$.
В описанной около треугольника $ABC$ окружности равные вписанные углы опираются на равные дуги. Угол $\angle BAD$ опирается на дугу $BD$, а угол $\angle CAD$ — на дугу $CD$. Из равенства углов следует равенство дуг: $\cup BD = \cup CD$.
В одной и той же окружности равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому $DB = DC$.

Теперь докажем, что $DO = DB$.
Для этого покажем, что треугольник $DBO$ является равнобедренным, а именно, что углы $\angle DBO$ и $\angle DOB$ равны. Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$.

Точка $O$ — центр вписанной окружности, следовательно, она является точкой пересечения биссектрис. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе $AD$, а прямая $BO$ — биссектриса угла $B$.

Найдем величину угла $\angle DBO$. Он равен сумме углов $\angle DBC$ и $\angle CBO$.
1. Так как $BO$ — биссектриса угла $B$, то $\angle CBO = \frac{\beta}{2}$.
2. Угол $\angle DBC$ является вписанным и опирается на дугу $DC$. На эту же дугу опирается угол $\angle DAC$. Так как $AD$ — биссектриса угла $A$, то $\angle DAC = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\angle DBC = \frac{\alpha}{2}$.
Таким образом, $\angle DBO = \angle DBC + \angle CBO = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.

Далее найдем величину угла $\angle DOB$. Рассмотрим треугольник $ABO$. Точки $A, O, D$ лежат на одной прямой (биссектрисе угла $A$). Поэтому угол $\angle DOB$ является внешним углом треугольника $ABO$ при вершине $O$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle DOB = \angle OAB + \angle OBA$. Поскольку $AO$ и $BO$ — биссектрисы, то $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle OBA = \frac{\beta}{2}$. Отсюда следует, что $\angle DOB = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.

Так как мы установили, что $\angle DBO = \angle DOB$, то треугольник $DBO$ является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $DO = DB$.

Объединяя результаты, получаем: из первого этапа $DB = DC$, из второго $DO = DB$. Следовательно, $DO = DB = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $DO = DB = DC$ доказано.