Номер 8.23, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.23. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены диаметры $AD$ и $AC$. Докажите, что точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

8.23. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены диаметры $AD$ и $AC$. Докажите, что точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Пусть нам даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены диаметры $AD$ для окружности $\omega_1$ и $AC$ для окружности $\omega_2$. Это означает, что точка $D$ лежит на окружности $\omega_1$, а точка $C$ — на окружности $\omega_2$. Точка $B$ по условию лежит на обеих окружностях.

Рассмотрим угол $\angle ABD$. Этот угол вписан в окружность $\omega_1$ и опирается на ее диаметр $AD$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, он является прямым. Следовательно, его величина составляет $90^\circ$.

$\angle ABD = 90^\circ$

Аналогично рассмотрим угол $\angle ABC$. Этот угол вписан в окружность $\omega_2$ и опирается на ее диаметр $AC$. Следовательно, этот угол также является прямым, и его величина равна $90^\circ$.

$\angle ABC = 90^\circ$

Чтобы доказать, что точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что угол $\angle CBD$ является развернутым, то есть его мера равна $180^\circ$. Угол $\angle CBD$ образован лучами $BC$ и $BD$ и является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle ABD$.

$\angle CBD = \angle ABC + \angle ABD$

Подставим найденные значения углов в это равенство:

$\angle CBD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Поскольку величина угла $\angle CBD$ равна $180^\circ$, он является развернутым углом. Это означает, что точки $C$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой, так как угол $\angle CBD$, являющийся суммой двух прямых углов ($\angle ABC$ и $\angle ABD$), равен $180^\circ$.