Номер 8.17, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.17. Точка $O$ — центр окружности. Хорда $AB$ перпендикулярна радиусу $OM$ и делит его пополам. Найдите углы $AOB$ и $BAM$.

8.17. Точка $O$ — центр окружности. Хорда $AB$ перпендикулярна радиусу $OM$ и делит его пополам. Найдите углы $AOB$ и $BAM$.

Угол AOB
Пусть $R$ — радиус окружности. Тогда отрезки $OA$, $OB$ и $OM$ являются радиусами, и их длины равны $R$.
Обозначим точку пересечения хорды $AB$ и радиуса $OM$ как $K$.
По условию задачи, хорда $AB$ перпендикулярна радиусу $OM$, следовательно, треугольник $AOK$ является прямоугольным, а угол $∠OKA = 90°$.
Также по условию, хорда $AB$ делит радиус $OM$ пополам. Это означает, что $OK = \frac{OM}{2} = \frac{R}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$. В нем гипотенуза $OA = R$, а катет $OK = \frac{R}{2}$. Мы видим, что катет $OK$ равен половине гипотенузы $OA$. В прямоугольном треугольнике угол, лежащий против катета, равного половине гипотенузы, равен $30°$. Значит, $∠OAK = 30°$. Тогда второй острый угол $∠AOK = 90° - 30° = 60°$.
Также можно найти угол через косинус:
$cos(∠AOK) = \frac{OK}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$
Отсюда следует, что $∠AOK = 60°$.
Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OB$ — радиусы окружности ($OA = OB = R$). Отрезок $OK$ является высотой, проведенной из вершины $O$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.
Следовательно, $OK$ делит угол $AOB$ пополам, то есть $∠AOB = 2 \cdot ∠AOK$.
$∠AOB = 2 \cdot 60° = 120°$.
Ответ: $∠AOB = 120°$.

Угол BAM
Угол $BAM$ — это вписанный угол, так как его вершина $A$ лежит на окружности, а его стороны $AB$ и $AM$ являются хордами окружности.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Угол $BAM$ опирается на дугу $BM$.
Угловая величина дуги $BM$ равна величине соответствующего ей центрального угла $BOM$.
Найдем угол $BOM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOK$. Он конгруэнтен треугольнику $AOK$ (по гипотенузе и катету: $OA = OB = R$, катет $OK$ — общий).
Следовательно, $∠BOK = ∠AOK = 60°$.
Поскольку точки $O$, $K$, $M$ лежат на одном радиусе, то они коллинеарны, и угол $BOM$ совпадает с углом $BOK$. Таким образом, $∠BOM = 60°$.
Теперь можем найти величину вписанного угла $BAM$:
$∠BAM = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BM = \frac{1}{2} \cdot ∠BOM = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$.
Ответ: $∠BAM = 30°$.