Номер 8.10, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.10. Вершины равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$) делят описанную около него окружность на три дуги, причём $\cup AB = 70^\circ$. Найдите углы треугольника ABC.

8.10. Вершины равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делят описанную около него окружность на три дуги, причём $\cup AB = 70^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, так как $AB = BC$. Треугольник вписан в окружность.

В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поскольку стороны (хорды) $AB$ и $BC$ равны, то и дуги, на которые они опираются, также равны:

$\cup AB = \cup BC$

Из условия нам дана градусная мера дуги $AB$:

$\cup AB = 70^\circ$

Следовательно, градусная мера дуги $BC$ тоже равна $70^\circ$:

$\cup BC = 70^\circ$

Вся окружность составляет $360^\circ$. Вершины треугольника делят окружность на три дуги: $\cup AB$, $\cup BC$ и $\cup AC$. Найдем градусную меру дуги $AC$:

$\cup AC = 360^\circ - (\cup AB + \cup BC) = 360^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Найдем углы треугольника:

1. Угол $\angle C$ (или $\angle BCA$) опирается на дугу $AB$.

$\angle C = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$

2. Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) опирается на дугу $BC$.

$\angle A = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$

3. Угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) опирается на дугу $AC$.

$\angle B = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 220^\circ = 110^\circ$

Для проверки можно сложить найденные углы. Их сумма должна быть равна $180^\circ$:

$35^\circ + 35^\circ + 110^\circ = 180^\circ$

Сумма верна, следовательно, углы найдены правильно.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $35^\circ$, $110^\circ$ и $35^\circ$.