Номер 8.4, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.4. На рисунке 8.15 изображена окружность с центром O. Найдите:

1) угол $BDC$, если $\angle BAC = 40^\circ$;

2) угол $BEC$, если $\angle BOC = 70^\circ$;

3) дугу $CE$, если $\angle CDE = 80^\circ$;

4) угол $DBA$, если $\overset{\frown}{DBA} = 300^\circ$.

Рис. 8.15

8.4. На рисунке 8.15 изображена окружность с центром O. Найдите:

1) угол $BDC$, если $\angle BAC = 40^{\circ}$;

2) угол $BEC$, если $\angle BOC = 70^{\circ}$;

3) дугу $CE$, если $\angle CDE = 80^{\circ}$;

4) угол $DBA$, если $\overset{\frown}{DBA} = 300^{\circ}$.

Рис. 8.15

1) угол BDC, если ∠BAC = 40°;
Углы $∠BAC$ и $∠BDC$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. Согласно свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следовательно, $∠BDC = ∠BAC$.
Так как по условию $∠BAC = 40°$, то $∠BDC = 40°$.
Ответ: $40°$.

2) угол BEC, если ∠BOC = 70°;
Угол $∠BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, градусная мера дуги $BC$ равна $70°$.
Угол $∠BEC$ является вписанным углом, который опирается на ту же дугу $BC$.
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $∠BEC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35°$.
Ответ: $35°$.

3) дугу CE, если ∠CDE = 80°;
Угол $∠CDE$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $CE$.
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть $∠CDE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CE$.
Отсюда, градусная мера дуги $CE$ в два раза больше градусной меры вписанного угла $∠CDE$.
дуга $CE = 2 \cdot ∠CDE = 2 \cdot 80° = 160°$.
Ответ: $160°$.

4) угол DBA, если ∪DBA = 300°;
Вся окружность составляет $360°$. Дуга $DBA$ и меньшая дуга $DA$ вместе составляют полную окружность.
Найдем градусную меру меньшей дуги $DA$ (на которую опирается искомый угол):
дуга $DA = 360° - \text{дуга } DBA = 360° - 300° = 60°$.
Угол $∠DBA$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $DA$.
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $∠DBA = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DA = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$.
Ответ: $30°$.