Номер 8.6, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.6. Центральный угол $AOC$ на $25^\circ$ больше вписанного угла $ABC$, опирающегося на дугу $AC$ (рис. 8.17). Найдите углы $AOC$ и $ABC$.

8.6. Центральный угол $AOC$ на $25^{\circ}$ больше вписанного угла $ABC$, опирающегося на дугу $AC$ (рис. 8.17). Найдите углы $AOC$ и $ABC$.

Рис. 8.17

Пусть величина вписанного угла $ \angle ABC $ равна $x$ градусов.

Согласно условию задачи, центральный угол $ \angle AOC $ на $25^\circ$ больше вписанного угла $ \angle ABC $. Следовательно, величину центрального угла можно выразить как $ \angle AOC = x + 25^\circ $.

По свойству углов в окружности, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше этого вписанного угла. В данном случае оба угла, $ \angle AOC $ и $ \angle ABC $, опираются на дугу AC. Таким образом, справедливо следующее соотношение:

$ \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC $

Теперь мы можем составить и решить уравнение, подставив выражения для углов через $x$:

$ x + 25^\circ = 2x $

$ 2x - x = 25^\circ $

$ x = 25^\circ $

Таким образом, мы нашли величину вписанного угла: $ \angle ABC = 25^\circ $.

Теперь найдем величину центрального угла $ \angle AOC $, используя одно из выражений:

$ \angle AOC = x + 25^\circ = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ $

Проверим по второму соотношению:

$ \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ $

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $ \angle AOC = 50^\circ $, $ \angle ABC = 25^\circ $.