Номер 8.11, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.11. Острый угол прямоугольного треугольника равен $32^\circ$. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна 12 см.

8.11. Острый угол прямоугольного треугольника равен $32^{\circ}$. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна $12 \text{ см}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Обозначим его вершины так, что $\angle C = 90^\circ$. По условию, один из острых углов равен $32^\circ$, пусть это будет $\angle A = 32^\circ$. Гипотенуза $AB$ равна 12 см.

Радиус описанной окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Это означает, что гипотенуза является диаметром описанной окружности.
Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $d$ — её диаметр.
По условию, длина гипотенузы $AB = 12$ см, следовательно, диаметр $d = 12$ см.
Радиус окружности равен половине диаметра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

Градусные меры дуг

Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Чтобы найти их градусные меры, сначала найдем второй острый угол треугольника. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$.

Градусная мера дуги окружности равна удвоенной градусной мере вписанного угла, который на эту дугу опирается.
- Дуга $BC$, на которую опирается вписанный угол $\angle A = 32^\circ$, имеет градусную меру $2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$.
- Дуга $AC$, на которую опирается вписанный угол $\angle B = 58^\circ$, имеет градусную меру $2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$.
- Дуга $AB$, на которую опирается вписанный прямой угол $\angle C = 90^\circ$, имеет градусную меру $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

Для проверки сложим градусные меры найденных дуг: $64^\circ + 116^\circ + 180^\circ = 360^\circ$, что составляет полную окружность.
Ответ: $64^\circ$, $116^\circ$, $180^\circ$.