Номер 8.15, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.15. Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ в точке $K$ так, что $\angle ACK = \angle BCK$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

8.15. Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ в точке $K$ так, что $\angle ACK = \angle BCK$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, на его стороне $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону $AB$ в точке $K$.

Поскольку точка $K$ лежит на окружности, а отрезок $AC$ является её диаметром, то вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым. В данном случае это угол $ \angle AKC $. Таким образом, $ \angle AKC = 90^\circ $.

Из того, что $ \angle AKC = 90^\circ $, следует, что отрезок $CK$ перпендикулярен стороне $AB$. Это означает, что $CK$ является высотой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $C$.

Также по условию нам дано, что $ \angle ACK = \angle BCK $. Это означает, что отрезок $CK$ делит угол $ \angle ACB $ пополам, то есть $CK$ является биссектрисой угла $C$ в треугольнике $ABC$.

Итак, мы установили, что в треугольнике $ABC$ отрезок $CK$, проведённый из вершины $C$ к стороне $AB$, является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Согласно одному из признаков равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота, проведённая из некоторой вершины, совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, причём его боковые стороны, выходящие из вершины $C$, равны: $AC = BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ является равнобедренным.