Номер 8.20, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.20. На дуге $AC$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, отметили точку $M$ так, что $\stackrel{\frown}{AM} = 2\stackrel{\frown}{CM}$. Найдите углы треугольника $AMC$.

8.20. На дуге $AC$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, отметили точку $M$ так, что $\cup AM = 2 \cup CM$. Найдите углы треугольника $AMC$.

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все его углы равны $60^\circ$, а вершины делят описанную окружность на три равные дуги: $\text{◡}AB = \text{◡}BC = \text{◡}CA$.

Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$, поэтому градусная мера каждой из этих дуг составляет:
$\text{◡}AC = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Точка $M$ расположена на дуге $AC$, следовательно, сумма градусных мер дуг $AM$ и $CM$ равна градусной мере дуги $AC$:
$\text{◡}AM + \text{◡}CM = \text{◡}AC = 120^\circ$.

Из условия задачи известно, что $\text{◡}AM = 2 \cdot \text{◡}CM$. Подставим это соотношение в предыдущее равенство:
$2 \cdot \text{◡}CM + \text{◡}CM = 120^\circ$
$3 \cdot \text{◡}CM = 120^\circ$
Отсюда находим градусную меру дуги $CM$:
$\text{◡}CM = \frac{120^\circ}{3} = 40^\circ$.

Теперь найдем градусную меру дуги $AM$:
$\text{◡}AM = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Углы треугольника $AMC$ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $\angle MAC$ опирается на дугу $CM$, поэтому его величина равна:
$\angle MAC = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}CM = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$.

Угол $\angle MCA$ опирается на дугу $AM$, поэтому его величина равна:
$\angle MCA = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AM = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$.

Угол $\angle AMC$ опирается на дугу $ABC$, состоящую из дуг $AB$ и $BC$. Градусная мера дуги $ABC$ равна:
$\text{◡}ABC = \text{◡}AB + \text{◡}BC = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle AMC$ равна:
$\angle AMC = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}ABC = \frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Проверим себя, используя свойство о сумме углов треугольника:
$\angle MAC + \angle MCA + \angle AMC = 20^\circ + 40^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.
Все верно.

Ответ: углы треугольника $AMC$ равны $20^\circ, 40^\circ, 120^\circ$.