Номер 8.18, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.18. Через точку A, лежащую вне окружности с центром O, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а вторая проходит через её центр (рис. 8.19). Известно, что $\overset{\frown}{BMC} = 100^\circ$. Найдите $\angle BAC$.

8.18. Через точку A, лежащую вне окружности с центром O, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а вторая проходит через её центр (рис. 8.19). Известно, что $ \cup BMC = 100^\circ $. Найдите угол $ BAC $.

Рис. 8.19

По условию задачи, через точку $A$, лежащую вне окружности с центром $O$, проведены две прямые. Одна прямая является касательной к окружности в точке $B$, а вторая прямая (секущая) проходит через центр $O$ и пересекает окружность в точках $M$ и $C$ (где $M$ находится между $A$ и $O$).

В условии указано, что $\cup BMC = 100^\circ$. Эта запись, вероятнее всего, является опечаткой и подразумевает, что угол $\angle BMC = 100^\circ$. Интерпретация этого значения как градусной меры дуги $BMC$ приводит к противоречию, так как дуга, соединяющая точку $B$ с диаметрально противоположными точками $M$ и $C$, должна быть больше $180^\circ$. Поэтому будем исходить из того, что $\angle BMC = 100^\circ$.

Угол $\angle BMC$ — это вписанный угол. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle BMC$ опирается на большую дугу $BC$ (ту, которая не содержит точку $M$). Следовательно, градусная мера этой дуги равна:

Большая дуга $BC = 2 \cdot \angle BMC = 2 \cdot 100^\circ = 200^\circ$.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Тогда градусная мера меньшей дуги $BC$ будет:

Меньшая дуга $BC = 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$.

Центральный угол $\angle BOC$ опирается на меньшую дугу $BC$, поэтому его величина равна градусной мере этой дуги:

$\angle BOC = 160^\circ$.

Поскольку секущая $AC$ проходит через центр $O$, отрезок $MC$ является диаметром окружности. Точки $M, O, C$ лежат на одной прямой, значит, угол $\angle MOC$ — развёрнутый и равен $180^\circ$. Углы $\angle BOM$ и $\angle BOC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

$\angle BOM + \angle BOC = 180^\circ$

Отсюда можем найти величину угла $\angle BOM$:

$\angle BOM = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. Прямая $AB$ является касательной к окружности в точке $B$, а $OB$ — радиус, проведённый в точку касания. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Таким образом, $\angle ABO = 90^\circ$, и $\triangle ABO$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Для $\triangle ABO$ это означает:

$\angle BAO + \angle AOB = 90^\circ$

Угол $\angle AOB$ совпадает с найденным ранее углом $\angle BOM$, то есть $\angle AOB = 20^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle BAO + 20^\circ = 90^\circ$

$\angle BAO = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

Искомый угол $\angle BAC$ — это тот же угол, что и $\angle BAO$.

Ответ: $70^\circ$.