Номер 8.22, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.22. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $56^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую остальные стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

8.22. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $56^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую остальные стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = 56°$.

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle A = \angle C = \frac{180° - \angle B}{2} = \frac{180° - 56°}{2} = \frac{124°}{2} = 62°$.

На боковой стороне $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Обозначим её центр (середину $AB$) как $O$. Сторона $AC$ пересекает полуокружность в точке $E$, а сторона $BC$ — в точке $D$. Таким образом, полуокружность, идущая от точки $A$ до точки $B$, делится на три дуги: $AE$, $ED$ и $DB$. Сумма их градусных мер равна $180°$.

Для нахождения градусных мер дуг найдем величины соответствующих им центральных углов.

Рассмотрим треугольник $AOE$. Так как $OA$ и $OE$ являются радиусами полуокружности, то $OA = OE$. Следовательно, треугольник $AOE$ — равнобедренный. Углы при его основании $AE$ равны: $\angle OEA = \angle OAE$. Угол $\angle OAE$ является частью угла $\angle CAB$, поэтому $\angle OAE = \angle A = 62°$. Тогда и $\angle OEA = 62°$.
Центральный угол $\angle AOE$, опирающийся на дугу $AE$, равен:
$\angle AOE = 180° - (\angle OAE + \angle OEA) = 180° - (62° + 62°) = 180° - 124° = 56°$.
Градусная мера дуги $AE$ равна величине центрального угла $\angle AOE$, то есть дуга $AE = 56°$.

Рассмотрим треугольник $BOD$. Так как $OB$ и $OD$ являются радиусами, $OB = OD$, и треугольник $BOD$ — равнобедренный. Углы при его основании $BD$ равны: $\angle ODB = \angle OBD$. Угол $\angle OBD$ является частью угла $\angle ABC$, поэтому $\angle OBD = \angle B = 56°$. Тогда и $\angle ODB = 56°$.
Центральный угол $\angle BOD$, опирающийся на дугу $DB$, равен:
$\angle BOD = 180° - (\angle OBD + \angle ODB) = 180° - (56° + 56°) = 180° - 112° = 68°$.
Градусная мера дуги $DB$ равна величине центрального угла $\angle BOD$, то есть дуга $DB = 68°$.

Теперь найдем градусную меру оставшейся дуги $ED$. Сумма трех дуг составляет полуокружность:
Дуга $AE$ + Дуга $ED$ + Дуга $DB = 180°$.
$56° + \text{Дуга } ED + 68° = 180°$.
Дуга $ED = 180° - 56° - 68° = 180° - 124° = 56°$.

Таким образом, градусные меры образовавшихся дуг равны $56°$, $56°$ и $68°$.

Ответ: $56°, 56°, 68°$.